122
Statistique appliquée aux sciences de la vie
9.6 Test de Student pour une différence de
moyenne
Lorsque l’on considère l’hypothèse nulle :
H 0 : Δ = Δ
∗
et que l’on croit à ce que l’on avait appelé le « modèle idéal », c’est-à-dire à
la normalité et à une même variance dans les deux groupes (σ
2
1 = σ
2
0 , que l’on
notera simplement par σ
2 ), on a à disposition un test exact, appelé test de
Student (en anglais : two-sample t-test), qui est en dualité avec un intervalle
de confiance de Student pour Δ. Pour ce faire, on estime la variance commune
par :
˜
σ
2 =
(n 1 − 1)˜ σ
2
1 + (n 0 − 1)˜ σ
2
0
n 1 + n 0 − 2
et on utilise la statistique de test donnée par :
T stat =
Δ − Δ
∗
˜
σ 2
n1 +
˜
σ 2
n0
que l’on peut ré-écrire comme suit :
T stat =
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Δ − Δ
∗
˜
σ
.
On compare ensuite cette statistique de test à une distribution de Student
avec n 1 + n 0 − 2 dl, les règles de rejet de H 0 et les calculs de valeur p étant
analogues à ce que l’on a vu dans les deux sections précédentes. Il s’agit donc
d’un test exact sous les hypothèses du modèle idéal. Si le modèle idéal ne peut
pas être postulé, ce test sera valide pour autant que n 1 et n 0 soient assez grands
et proches l’un de l’autre (ce sont les mêmes conditions de validité que pour
l’intervalle de confiance dual).
Exemple 9.5 En reprenant l’exemple de la section précédente, on calcule ici :
˜
σ
2 =
(31 − 1)0.83 + (39 − 1)0.20
31 + 39 − 2
= 0.48
et ainsi :
t stat =
31 · 39
31 + 39
·
1.05
√
0.48
= 6.30.
Dans un test bilatéral, on compare donc |t stat | = 6.30 avec t 0.975,68 = 2.00, de
sorte que l’on rejette l’hypothèse nulle au seuil 5 % (un logiciel statistique nous
donnera p < 0.0001). On a ainsi un résultat semblable à celui obtenu avec un
test de Welch (on avait t stat = 5.88 et 41 dl, alors que l’on a ici t stat = 6.30 et
68 dl, avec dans les deux cas p < 0.0001).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
9.6 Test de Student pour une différence de
moyenne
Lorsque l’on considère l’hypothèse nulle :
H 0 : Δ = Δ
∗
et que l’on croit à ce que l’on avait appelé le « modèle idéal », c’est-à-dire à
la normalité et à une même variance dans les deux groupes (σ
2
1 = σ
2
0 , que l’on
notera simplement par σ
2 ), on a à disposition un test exact, appelé test de
Student (en anglais : two-sample t-test), qui est en dualité avec un intervalle
de confiance de Student pour Δ. Pour ce faire, on estime la variance commune
par :
˜
σ
2 =
(n 1 − 1)˜ σ
2
1 + (n 0 − 1)˜ σ
2
0
n 1 + n 0 − 2
et on utilise la statistique de test donnée par :
T stat =
Δ − Δ
∗
˜
σ 2
n1 +
˜
σ 2
n0
que l’on peut ré-écrire comme suit :
T stat =
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Δ − Δ
∗
˜
σ
.
On compare ensuite cette statistique de test à une distribution de Student
avec n 1 + n 0 − 2 dl, les règles de rejet de H 0 et les calculs de valeur p étant
analogues à ce que l’on a vu dans les deux sections précédentes. Il s’agit donc
d’un test exact sous les hypothèses du modèle idéal. Si le modèle idéal ne peut
pas être postulé, ce test sera valide pour autant que n 1 et n 0 soient assez grands
et proches l’un de l’autre (ce sont les mêmes conditions de validité que pour
l’intervalle de confiance dual).
Exemple 9.5 En reprenant l’exemple de la section précédente, on calcule ici :
˜
σ
2 =
(31 − 1)0.83 + (39 − 1)0.20
31 + 39 − 2
= 0.48
et ainsi :
t stat =
31 · 39
31 + 39
·
1.05
√
0.48
= 6.30.
Dans un test bilatéral, on compare donc |t stat | = 6.30 avec t 0.975,68 = 2.00, de
sorte que l’on rejette l’hypothèse nulle au seuil 5 % (un logiciel statistique nous
donnera p < 0.0001). On a ainsi un résultat semblable à celui obtenu avec un
test de Welch (on avait t stat = 5.88 et 41 dl, alors que l’on a ici t stat = 6.30 et
68 dl, avec dans les deux cas p < 0.0001).