7. Tests du khi-deux pour tables de contingence
93
couleur
couleur cheveux
yeux
blond
roux châtain
brun
noir
total
bleu
193.9
38.1
284.8
185.4
15.7
718
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
vert
426.7
83.9 )
626.8
408.0
34.6
1580
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
brun
479.1
94.2
703.7
458.1
38.9
1774
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
noir
355.2
69.8
521.7
339.6
28.8
1315
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
total
1455
286
2137
1391
118
5387
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
Les fréquences attendues pour la première ligne de cette table s’obtiennent
par exemple de la manière suivante : 718 · 1455/5387 = 193.9 cheveux blonds,
718 · 286/5387 = 38.1 cheveux roux, 718 · 2137/5387 = 284.8 cheveux châtains,
718 · 1391/5387 = 185.4 cheveux bruns et 718 · 118/5387 = 15.7 cheveux noirs.
Les calculs sont analogues pour les autres lignes de cette table. La statistique
de test sera une mesure de la distance globale entre les fréquences observées et
les fréquences attendues. Elle se calcule en sommant les 4 × 5 termes suivants :
tstat =
(326 − 193.9)
2
193.9
+
(38 − 38.1)
2
38.1
+
(241 − 284.8)
2
284.8
+
(110 − 185.4)
2
185.4
+
(3 − 15.7)
2
15.7
+
(688 − 426.7)
2
426.7
+
(116 − 83.9)
2
83.9
+
(584 − 626.8)
2
626.8
+
(188 − 408 − 0)
2
408.0
+
(4 − 34.6)
2
34.6
+
(343 − 479.1)
2
479.1
+
(84 − 94.2)
2
94.2
+
(909 − 703.7)
2
703.7
+
(412 − 458.1)
2
458.1
+
(26 − 38.9)
2
38.9
+
(98 − 355.2)
2
355.2
+
(48 − 69.8)
2
69.8
+
(403 − 521.7)
2
521.7
+
(681 − 339.6)
2
339.6
+
(85 − 28.8)
2
28.8
= 1240.0
Au-delà de notre exemple particulier, si on dénote par O ij les fréquences
observées (O ij désignant le nombre de fois que l’on observe la valeur possible
j dans le groupe i, pour i = 1, · · · , I et j = 1, · · · , J), les fréquences attendues
E ij sont définies comme suit :
E ij =
J
j=1 O ij ·
I
i=1 O ij
I
i=1
J
j=1 O ij
et la statistique de test est définie comme suit :
T stat =
I
i=1
J
j=1
(O ij − E ij )
2
E ij
.
On rappellera ici la distinction de notation entre le concept de la variable
aléatoire T stat et sa réalisation t stat dans notre échantillon. Pour un test du khi-
93
couleur
couleur cheveux
yeux
blond
roux châtain
brun
noir
total
bleu
193.9
38.1
284.8
185.4
15.7
718
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
vert
426.7
83.9 )
626.8
408.0
34.6
1580
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
brun
479.1
94.2
703.7
458.1
38.9
1774
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
noir
355.2
69.8
521.7
339.6
28.8
1315
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
total
1455
286
2137
1391
118
5387
(27 %) (5 %) (40 %) (26 %) (2 %) (100 %)
Les fréquences attendues pour la première ligne de cette table s’obtiennent
par exemple de la manière suivante : 718 · 1455/5387 = 193.9 cheveux blonds,
718 · 286/5387 = 38.1 cheveux roux, 718 · 2137/5387 = 284.8 cheveux châtains,
718 · 1391/5387 = 185.4 cheveux bruns et 718 · 118/5387 = 15.7 cheveux noirs.
Les calculs sont analogues pour les autres lignes de cette table. La statistique
de test sera une mesure de la distance globale entre les fréquences observées et
les fréquences attendues. Elle se calcule en sommant les 4 × 5 termes suivants :
tstat =
(326 − 193.9)
2
193.9
+
(38 − 38.1)
2
38.1
+
(241 − 284.8)
2
284.8
+
(110 − 185.4)
2
185.4
+
(3 − 15.7)
2
15.7
+
(688 − 426.7)
2
426.7
+
(116 − 83.9)
2
83.9
+
(584 − 626.8)
2
626.8
+
(188 − 408 − 0)
2
408.0
+
(4 − 34.6)
2
34.6
+
(343 − 479.1)
2
479.1
+
(84 − 94.2)
2
94.2
+
(909 − 703.7)
2
703.7
+
(412 − 458.1)
2
458.1
+
(26 − 38.9)
2
38.9
+
(98 − 355.2)
2
355.2
+
(48 − 69.8)
2
69.8
+
(403 − 521.7)
2
521.7
+
(681 − 339.6)
2
339.6
+
(85 − 28.8)
2
28.8
= 1240.0
Au-delà de notre exemple particulier, si on dénote par O ij les fréquences
observées (O ij désignant le nombre de fois que l’on observe la valeur possible
j dans le groupe i, pour i = 1, · · · , I et j = 1, · · · , J), les fréquences attendues
E ij sont définies comme suit :
E ij =
J
j=1 O ij ·
I
i=1 O ij
I
i=1
J
j=1 O ij
et la statistique de test est définie comme suit :
T stat =
I
i=1
J
j=1
(O ij − E ij )
2
E ij
.
On rappellera ici la distinction de notation entre le concept de la variable
aléatoire T stat et sa réalisation t stat dans notre échantillon. Pour un test du khi-