pensable pour que cette inégalité soit vraie et qui n’est pas satisfaite pour certaines lois usuelles, alors que les autres hypothèses sont généralement vérifiées.
Enfin, cet énoncé fait intervenir la notion de quantité d’information de Fisher
qui est définie par :
I n (θ) = E θ
∂lnL
∂θ
2
Estimation 203
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Théorème
Sous les hypothèses de Cramer-Rao, en particulier si E = X () est indépendant du paramètre à estimer θ , pour tout estimateur sans biais T n de θ
on a :
V θ (T n )
1
I n (θ)
= B F (θ)
La quantité B F (θ) est la borne inférieure de Fréchet-Darmois-Cramer-Rao
(FDCR en abrégé). Notons que dans les conditions d’application de ce théorème, en particulier si E = X () est indépendant du paramètre à estimer θ ,o n
obtient une expression équivalente de la quantité d’information de Fisher qui est
généralement plus simple à calculer :
I n (θ) = E θ
−
∂
2 lnL
∂θ 2
Exemple 7.5
Soit X une v.a. de loi exponentielle de paramètre 1/θ, ou loi γ (1,1/θ) ,
avec θ>0 , de densité pour x > 0 :
f (x; θ) =
1
θ
e
−x/θ
La vraisemblance admet ici pour expression :
L (x 1 ,...,x n ; θ) =
n
i=1
f (x i ; θ) =
1
θ n exp
−
1
θ
n
i=1
x i
Pour calculer la quantité d’information de Fisher nous écrivons la logvraisemblance :
lnL (x 1 ,. . . ,x n ; θ) =−nlnθ −
1
θ
n
i=1
x i
Nous dérivons par rapport au paramètre :
∂lnL
∂θ
=−
n
θ
+
1
θ 2
n
i=1
x i