En fait, sous les hypothèses du théorème, on obtient une convergence
plus forte qui est la convergence en moyenne quadratique puisqu’ici
V θ (T n ) = E θ (T n − θ)
2 → 0 quand n →∞.
Exemple 7.4
Si θ = E(X) , ce paramètre est estimé sans biais par T n = X n , et on sait
de plus que V θ (T n ) = V (X)/n donc V θ (T n ) → 0 quand n →∞ et T n est
convergent (résultat que l’on aurait pu déduire directement de la loi des
grands nombres). Ainsi, la moyenne empirique est un estimateur sans
biais et convergent de la moyenne théorique E(X) , quelle que soit la loi
de X .
Le résultat précédent peut être obtenu sous des conditions un peu plus générales énoncées ci-après.
Estimation 201
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Théorème
Tout estimateur asymptotiquement sans biais dont la variance tend vers
zéro est convergent :
E θ (T n ) → θ
V θ (T n ) → 0
⇒ T n −−→
p
θ, n →∞
Là encore, ces conditions suffisantes de convergence en probabilité de T n
établissent en fait que cette suite converge en moyenne quadratique.
C. Estimateur optimal
1) Qualité d’un estimateur
La qualité d’un estimateur va se mesurer à l’aide d’une distance au paramètre
qui peut être par exemple |T n − θ| ou (T n − θ)
2 . Pour obtenir un indicateur
numérique on peut alors déterminer la valeur moyenne de cette distance.
L’indicateur généralement retenu, car il se prête facilement aux calculs, est l’erreur
quadratique moyenne définie pour tout θ par :
EQ(T n ) = E θ (T n − θ)
2 = V θ (T n ) + b
2
n (θ)
Dans le cas particulier d’un estimateur sans biais, cette erreur quadratique se
confond avec la variance de l’estimateur. Si dans l’erreur totale d’estimation on
privilégie l’erreur structurelle, mesurée par b
2
n (θ) , on fera choix d’un estimateur
sans biais et l’erreur d’estimation se réduira à l’erreur statistique mesurée par la
variance de l’estimateur. Si on se place donc dorénavant dans la classe des esti-