et nous avons vu dans le chapitre 5 que E θ (T n ) =
n − 1
n
θ . Donc S
′2
n est un
estimateur asymptotiquement sans biais de θ. Nous avons vu aussi que
E θ
S
2
n
= V (X) = θ, où S
2
n =
1
n − 1
n
i=1
X i − X n
2 est la variance empirique modifiée qui est donc toujours un estimateur sans biais de la variance
théorique, quelle que soit la loi de probabilité de la variable X .
B. Convergence d’un estimateur
Intuitivement, on est amené à penser que si la taille de l’échantillon augmente,
l’information sur le paramètre θ va augmenter et donc l’estimateur devrait d’une
certaine manière se « rapprocher » de la valeur de θ . Cet estimateur étant une v.a.,
la formulation mathématique de cette notion intuitive va faire appel à la convergence en probabilité d’une suite de v.a. : T n prendra des valeurs proches de θ avec
une probabilité d’autant plus proche de un que la taille d’échantillon n sera grande. Ceci conduit à la définition suivante.
200 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Définition
Un estimateur T n est convergent si la suite de v.a. (T n ) converge en probabilité vers la valeur du paramètre, c’est-à-dire pour tout θ de :
T n −−→
p
θ ⇔ P θ (|T n − θ | <ε) → 1, ∀ε>0, n →∞
⇔ P θ (|T n − θ | >ε) → 0
Théorème
Tout estimateur sans biais dont la variance tend vers zéro est convergent :
E θ (T n ) = θ
V θ (T n ) → 0
⇒ T n −−→
p
θ, n →∞
Il existe un moyen en général simple de vérifier cette propriété de convergence, à partir de conditions suffisantes faisant intervenir les deux premiers
moments de l’estimateur, et que nous énonçons dans le théorème ci-après.
Ce résultat se déduit directement de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
P θ (|T n − θ | >ε)
V θ (T n )
ε 2 → 0, ∀ε>0, n →∞