58 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Corrig´ es
3.1
Soit µ = E(X).
1.
var(X) = E
(X − µ)
2
= E(X
2 ) − E(2µX) + E(µ
2 )
= E(X
2 ) − 2µE(X) + µ
2 = E(X
2 ) − µ
2 .
2.
var(aX) = E(a
2 X
2 ) − (E(aX))
2 = a
2 E(X
2 ) − a
2 (E(X))
2
= a
2 (E(X
2 ) − (E(X))
2 ) = a
2 var(X).
3.2
1. Pour calculer la valeur de c, on se sert du fait que l’int´ egrale de la fonction
de densit´ e sur tout son domaine est ´ egale `
a 1.
∞
−∞
f (x)dx =
1
−1
c(1 − x
2 )dx = c
x −
x
3
3
x=1
x=−1
=
4
3
c = 1
et donc c = 3/4.
2. Consid´ erons le cas pour lequel −1 < x < 1
F (x) = P (X < x) =
x
−1
f (t)dt =
3
4
t −
t
3
3
t=x
t=−1
=
3
4
x
1 −
x
2
3
+
1
2
.
Par cons´ equent, la fonction de r´ epartition est
F (x) =

 
 
0
s ix ≤ −1
3
4 x
1 −
x
2
3
+
1
2
si |x| < 1
1
s ix ≥ 1.
3.
E(X) =
∞
−∞
xf (x)dx =
3
4
1
−1
(x − x
3 )dx = 0.
Ce r´ esultat est ´ evident car on int` egre une fonction impaire (xf (x)) sur
un domaine centr´ e sur 0.