R
Ex.I Oensite non uniIcfmfi
Soil uric* sphere de rayon R.
On considers uiue disrrftvu -
don volumique de charges , ,
continue m+ias dc densitc p
non uniforms- Ls vikw de
ceric dctssitc depend du E ; i
distance rJ an centre de la
sphere :
— et dc centre O ' sc trouvant sur Paxc (xxl a
4
rayon
R
la dmaoce — de O _
2
Momref que ic champ Secnriquc m uniforme dans
] c Ejou. spherique. Determiner son expression .
Ex. t2 Symetrin spherique
On coraidire urw disiribu -
tion vnfcuiuque de chaises a
syrneoie sphenque de centre
O. Les charts soaM repartee
en volume svte une dnuit
^
p(r} h F designant 3a distance
au point O ,
IJL densile p est :
R
- nuLk entre r = 0 et r = — , el pour r > R ;
£
R
| | W1 Hulk WT * r
—
r - R
M
pfO * P
Determiner 1 ' expression, vcctoricILe do champ E eree
par sett? distribution de charges cn tout point M dc
L
:
espace ou §L cst dtfini.
Niveau 3
EM. 9 Non uniforms sur une sphere
Une spheres, de rayon R et
dc centre 03 pone sn lout
point P de sa surface une
distribution surfacique de
chargei. ds dermte r
cr =
nti 0 CM ; rjusgjc LTHOS (OP) et PaKS (Os) (diametre de
la sphere) ,
J 1
Determiner I ' expresston du champ E au point O.
2
JLZ
»
La charge total? de la distribution est Q. . Le champ E
me par cette distribution vaut :
E - k(CAr - R > J/ dans J ' intervaLLIe
oil *1 car lie veeteur unicast * radial de la base dss coor -
donnees spheriques ,
1} Dormer Le domaine dc definition dn champ E. In
champ est - i ] cominu partout ?
2) Determiner E = | E \ pour F < J
^
L . tin deduire 3a
vakur ds 0S
3) Determiner E = I E | pour F > R. lin deduire la
vakur de k ,
4) AppHquer le thetirerrtc de Gauss pour un point M
*
i
1
Ex, 10 Sur un ruban
On consider? une distribu -
tion surfacique dc charge ^
de densitc a rcpartic uruformemenc sur un njban plan
xectiJLgne d
' cpaisseur 2a et
dc longueur itiGme. On note
lO.-rv ; 3L- pLm du rub;m , Jtr
ruban eiant centre sur I ’ axc.
1) Quells sont fce domain? de definition et la direction
du champ en un poissc M dc raxe (Oz) ?
2) Exprimer 3e dump E en TOtU point M de Tase
(Ox) ou LI est defini.
: j * * *
2a
R
Q
de rinten. 'aLle — i R crobteniF une equation donnam
une primitive dc La loi p(r) cn funeikm de E = l | E | | .
5) En deduire la lot p( > ). Verifier rhumusBrieite de In
foemuk obtenue .
Ex. 13 Density Ijneique
Stilt un cerdc d'+ixe (Ox) a
de cetitre O er dc rajeipi R.
Cette circonfcfcnce pone
ime densite lineique de
charges A uniftirrmf .
r
1) D
^
iermiFier le champ E
en tout poini M dc J ' a. xtr
( Ox) ou LI eat defini ,
2) On se place naaEnienflnl en un point M " du voisinage du point M de I ’ axc de revolution du c - cmle. M
est le pmjete ortbogon -Bl de M
1 sur L ' axe et on note F
la distance MM \ avee r ? . Oh admet que h etim =
posame axiale E. du champ (scion la dirccEuin dc
Tajce ) rc
^ te constant? entre ces deux points. En M% Le
champ n'est plus purement axial scJ(3n (OJ?) el pc ^( t )
L
+ K .
= —
srctan
M
^ +
c
3) En deduire L ' cxprcvihMjni du champ cret: par un
plajj uniformeniLTir cliarge.
"
(]
?
hs
Ex. 11 Un trou spheriquu
Suit une sph
^
re ^ de ecnlre O
et de rayon R, chargee unifi irmemeni JIV
^
L : Ln dimsite
volumiquc dc charges p.
Cette sphere possede un.
triesu sphenque (dans lequel
U n * y a pas de charges) dc
Jr
0 / ; M
*
' J
0 -
J:
. P
CMcrdc- flr .
Ex.I Oensite non uniIcfmfi
Soil uric* sphere de rayon R.
On considers uiue disrrftvu -
don volumique de charges , ,
continue m+ias dc densitc p
non uniforms- Ls vikw de
ceric dctssitc depend du E ; i
distance rJ an centre de la
sphere :
— et dc centre O ' sc trouvant sur Paxc (xxl a
4
rayon
R
la dmaoce — de O _
2
Momref que ic champ Secnriquc m uniforme dans
] c Ejou. spherique. Determiner son expression .
Ex. t2 Symetrin spherique
On coraidire urw disiribu -
tion vnfcuiuque de chaises a
syrneoie sphenque de centre
O. Les charts soaM repartee
en volume svte une dnuit
^
p(r} h F designant 3a distance
au point O ,
IJL densile p est :
R
- nuLk entre r = 0 et r = — , el pour r > R ;
£
R
| | W1 Hulk WT * r
—
r - R
M
pfO * P
Determiner 1 ' expression, vcctoricILe do champ E eree
par sett? distribution de charges cn tout point M dc
L
:
espace ou §L cst dtfini.
Niveau 3
EM. 9 Non uniforms sur une sphere
Une spheres, de rayon R et
dc centre 03 pone sn lout
point P de sa surface une
distribution surfacique de
chargei. ds dermte r
cr =
nti 0 CM ; rjusgjc LTHOS (OP) et PaKS (Os) (diametre de
la sphere) ,
J 1
Determiner I ' expresston du champ E au point O.
2
JLZ
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La charge total? de la distribution est Q. . Le champ E
me par cette distribution vaut :
E - k(CAr - R > J/ dans J ' intervaLLIe
oil *1 car lie veeteur unicast * radial de la base dss coor -
donnees spheriques ,
1} Dormer Le domaine dc definition dn champ E. In
champ est - i ] cominu partout ?
2) Determiner E = | E \ pour F < J
^
L . tin deduire 3a
vakur ds 0S
3) Determiner E = I E | pour F > R. lin deduire la
vakur de k ,
4) AppHquer le thetirerrtc de Gauss pour un point M
*
i
1
Ex, 10 Sur un ruban
On consider? une distribu -
tion surfacique dc charge ^
de densitc a rcpartic uruformemenc sur un njban plan
xectiJLgne d
' cpaisseur 2a et
dc longueur itiGme. On note
lO.-rv ; 3L- pLm du rub;m , Jtr
ruban eiant centre sur I ’ axc.
1) Quells sont fce domain? de definition et la direction
du champ en un poissc M dc raxe (Oz) ?
2) Exprimer 3e dump E en TOtU point M de Tase
(Ox) ou LI est defini.
: j * * *
2a
R
Q
de rinten. 'aLle — i R crobteniF une equation donnam
une primitive dc La loi p(r) cn funeikm de E = l | E | | .
5) En deduire la lot p( > ). Verifier rhumusBrieite de In
foemuk obtenue .
Ex. 13 Density Ijneique
Stilt un cerdc d'+ixe (Ox) a
de cetitre O er dc rajeipi R.
Cette circonfcfcnce pone
ime densite lineique de
charges A uniftirrmf .
r
1) D
^
iermiFier le champ E
en tout poini M dc J ' a. xtr
( Ox) ou LI eat defini ,
2) On se place naaEnienflnl en un point M " du voisinage du point M de I ’ axc de revolution du c - cmle. M
est le pmjete ortbogon -Bl de M
1 sur L ' axe et on note F
la distance MM \ avee r ? . Oh admet que h etim =
posame axiale E. du champ (scion la dirccEuin dc
Tajce ) rc
^ te constant? entre ces deux points. En M% Le
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L
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= —
srctan
M
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c
3) En deduire L ' cxprcvihMjni du champ cret: par un
plajj uniformeniLTir cliarge.
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Ex. 11 Un trou spheriquu
Suit une sph
^
re ^ de ecnlre O
et de rayon R, chargee unifi irmemeni JIV
^
L : Ln dimsite
volumiquc dc charges p.
Cette sphere possede un.
triesu sphenque (dans lequel
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Jr
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' J
0 -
J:
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