écarts négatifs dus à la simple somme, on va prendre la somme des
carrés : ¦
i
i
e
2 et on va chercher à minimiser cette somme d’où le nom de
méthode des moindres carrés.
Comme le modèle s’écrit
i
i
i
e
b
ax
y
avec i variant de 1 à n,
minimiser ¦
i
i
e
2 revient à minimiser
2
)
(
b
ax
y
i
i
i
¦
où x i et y i , (i
variant de 1 à n) sont donnés.
On montre (cf. démonstration en annexe 1) que les valeurs de a et b sont
les suivantes :
a =
)
(
)
,
(
x
V
y
x
Cov
avec Cov(x,y) =
n
y
y
x
x
i
i
i
)
)(
(
¦
b =
x
a
y
de sorte que l’équation de la droite de régression s’écrit :
)
(
y
y
a
x
x
Exercice 5 : droite de régression
Ouvrez la feuille 5. droite de régression.
Nous allons étudier les liens entre la quantité d’engrais et la production
de gazon. On sème les graines de façon uniforme sur huit parcelles de
même taille et des masses différentes d’engrais (voir tableau ci-dessous)
sont déposées sur chacune. Deux mois plus tard, le gazon est récolté sur
chaque parcelle et pesé. Les résultats sont rassemblés dans le tableau
suivant :
122 - INTRODUCTION À LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE