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An Introduction to Beam Physics
=
x 0 cos (nμ) + a 0 sin (nμ)
− x 0 sin (nμ) + a 0 cos (nμ)
+ k s β
3
2
0
[ x 0 cos (nμ) + a 0 sin (nμ)]
2
+ k s β
3
2
n−1
m=1
{ x 0 cos [(n − m) μ] + a 0 sin [(n − m) μ]}
2 sin (mμ)
{ x 0 cos [(n − m) μ] + a 0 sin [(n − m) μ]}
2 cos (mμ)
=
x 0 cos (nμ) + a 0 sin (nμ)
− x 0 sin (nμ) + a 0 cos (nμ)
+ k s β
3
2
0
[ x 0 cos (nμ) + a 0 sin (nμ)]
2
+
1
2
k s β
3
2
x
2
0 + a
2
0
n−1
m=1
sin (mμ)
cos (mμ)
+
1
4
k s β
3
2
x
2
0 − a
2
0
n−1
m=1
sin [(2n − m) μ] − sin [(2n − 3m) μ]
cos [(2n − m) μ] + cos [(2n − 3m) μ]
+
1
2
k s β
3
2
x 0 a 0
n−1
m=1
cos [(2n − 3m) μ] − cos [(2n − m) μ]
sin [(2n − m) μ] + sin [(2n − 3m) μ]
.
Again, using the formula
n−1
m=0
cos (x + my) =
cos (x + (n − 1) y/2) sin (ny/2)
sin (y/2)
,
(11.7)
we obtain
n−1
m=1
cos (mμ) =
n−1
m=1
cos [μ + (m − 1) μ] =
n−2
m=0
cos (μ + mμ)
=
cos [μ + (n − 2) μ/2] sin [(n − 1) μ/2]
sin (μ/2)
=
cos (nμ/2) sin [(n − 1) μ/2]
sin (μ/2)
,
n−1
m=1
cos [(2n − m) μ] =
n−1
m=1
cos [(2n − 1) μ − (m − 1) μ]
=
n−2
m=0
cos [(2n − 1) μ − mμ] =
cos (3nμ/2) sin [(n − 1) μ/2]
sin (μ/2)
,
n−1
m=1
cos [(2n − 3m) μ] =
n−1
m=1
cos [(2n − 3) μ − 3 (m − 1) μ]
=
n−2
m=0
cos [(2n − 3) μ − 3mμ] =
cos (nμ/2) sin [3 (n − 1) μ/2]
sin (3μ/2)
.