ρvdx or d ρudydx
δ
∫
dx
d
ρudy
∫ ρudy+
∫ (ρudy)dx
∫
dx
Conservation of mass
ρvU ∞ dx or U ∞
d ∫ ρudydx
δ
dx
∫ ρuudy+ d ∫ (ρuudy)dx
∫ ρuudy
dx
Momentum change
Pdy
δ
Pdydx
∂
∂x
+
∫
∫
Pdy
∫
Pdδ
τ w dx
Net force
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
From momentum conservation,
⎛
⎞
δ
dδ
d
d
d
⎝
−τ w dx + P
dx −
P dy ⎠ dx =
(ρuu dy) dx − U ∞
(ρu dy) dx
dx
dx
dx
dx
'
-v
'
0
'
-v
'
momentum change
net force
(7.32)
where
d
d
dδ
dP
−
P dy = − P dy = −P
− δ
dx
dx
dx
dx
dP/dx = −ρU ∞ (dU ∞ /dx) (from the momentum differential equation, at
2
outside of the boundary layer, u = U ∞ , v = 0, ∂ 2 U ∞ /∂y = 0).
Therefore,
dδ
dδ
dU ∞
d
d
− τ w + P
− P
− δ −ρU ∞
=
ρuu dy − U ∞
ρu dy
dx
dx
dx
dx
dx
d
dU ∞
d
− τ w =
ρuu dy − ρU ∞
dy − U ∞
ρu dy
dx
dx
dx
151
External Forced Convection
FIGURE 7.5
Integral method.