A.7 Les opérateurs différentiels de la relativité restreinte
249
théorème de Gauss (théorème de la divergence) à un espace de dimension quelconque, cette formule s’écrit en notation indicielle :
(V)
∂ l v
l dv =
(∂V)
v
l ds l
(.108)
où (∂V) désigne l’hypersurface (variété de dimension 3 dans le cas d’une intégration dans l’espace-temps par exemple) délimitant l’hypervolume (V), dv et ds l
représentant respectivement l’élément d’hypervolume et l’élément d’hypersurface.
Cette formule vaut également pour les tenseurs et donne ainsi dans le cas d’un
tenseur d’ordre 2 :
(V)
∂ m U
lm dv =
(∂V)
U
lm ds m
(.109)
(où
U
lm ds m correspond à la l
i `
eme composante d’un vecteur de l’espace considéré).
A.7 LES OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS DE LA RELATIVITÉ
RESTREINTE
La particularisation des définitions précédentes au cas de l’espace-temps à quatre
dimensions de la relativité restreinte conduit à définir des opérateurs très utiles pour
la construction de l’électrodynamique.
Ainsi, conformément aux notations introduites à la section A.2.6, le 4-gradient
d’un champ de scalaire F
x
m
correspond aux quadrivecteur défini par :
∂ l F =
1
c
∂F
∂t
, grad F
(.110)
où grad F désigne le gradient de l’espace à trois dimensions.
Quant aux composantes contravariantes du 4-gradient, elles se déduisent simplement de la forme covariante par simple changement de signe des composantes spatiales :
∂
l F = g
lm ∂ m F =
1
c
∂F
∂t
, −grad F
(.111)
Compte tenu de la forme particulière du tenseur métrique définie par (.35), les
symboles de Christoffel sont nuls dans le cadre du système de coordonnées rectilignes
précédemment adopté. Les composantes de la dérivée covariante pourront alors être
confondues avec les composantes de la dérivée ordinaire.
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théorème de Gauss (théorème de la divergence) à un espace de dimension quelconque, cette formule s’écrit en notation indicielle :
(V)
∂ l v
l dv =
(∂V)
v
l ds l
(.108)
où (∂V) désigne l’hypersurface (variété de dimension 3 dans le cas d’une intégration dans l’espace-temps par exemple) délimitant l’hypervolume (V), dv et ds l
représentant respectivement l’élément d’hypervolume et l’élément d’hypersurface.
Cette formule vaut également pour les tenseurs et donne ainsi dans le cas d’un
tenseur d’ordre 2 :
(V)
∂ m U
lm dv =
(∂V)
U
lm ds m
(.109)
(où
U
lm ds m correspond à la l
i `
eme composante d’un vecteur de l’espace considéré).
A.7 LES OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS DE LA RELATIVITÉ
RESTREINTE
La particularisation des définitions précédentes au cas de l’espace-temps à quatre
dimensions de la relativité restreinte conduit à définir des opérateurs très utiles pour
la construction de l’électrodynamique.
Ainsi, conformément aux notations introduites à la section A.2.6, le 4-gradient
d’un champ de scalaire F
x
m
correspond aux quadrivecteur défini par :
∂ l F =
1
c
∂F
∂t
, grad F
(.110)
où grad F désigne le gradient de l’espace à trois dimensions.
Quant aux composantes contravariantes du 4-gradient, elles se déduisent simplement de la forme covariante par simple changement de signe des composantes spatiales :
∂
l F = g
lm ∂ m F =
1
c
∂F
∂t
, −grad F
(.111)
Compte tenu de la forme particulière du tenseur métrique définie par (.35), les
symboles de Christoffel sont nuls dans le cadre du système de coordonnées rectilignes
précédemment adopté. Les composantes de la dérivée covariante pourront alors être
confondues avec les composantes de la dérivée ordinaire.