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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Lorsque nous serons confrontés à une telle situation (par exemple lors de la manipulation des équations de l’élasticité en coordonnées cartésiennes), nous conviendrons dans ce cas de placer systématiquement les indices en position basse.
Notons par ailleurs que le système d’équations (.18) définissant les x m en fonction
des composantes x
l peut être inversé (det
g lm
= 0), si bien que l’on pourra écrire :
x
m = g
ml x l
(.21)
où les termes g
ml constituent, à l’instar des g lm , un tableau symétrique (g
ml = g
lm )
et vérifient en outre de manière évidente la relation g
ml g rl = d
m
r .
D’un point de vue purement typographique, retenons que l’action d’un terme g lm
au sein d’une sommation revient à un abaissement des indices concernés, tandis que
les termes g
lm agissent en sens inverse.
Dès lors, l’utilisation des composantes contravariantes et covariantes permet d’établir différentes formulations du produit scalaire de deux vecteurs x et y :
x·y = g lm x
l y
m = g
ml x l y m = x
l y l = x m y
m
(.22)
Selon une forme d’écriture particulièrement concise, le produit scalaire procède
ainsi d’une sommation sur des indices de variance différente (opération appelée
contraction d’indice dans la terminologie des tenseurs). Cette formulation traduit le
caractère invariant du produit scalaire dont la réalité intrinsèque, de même que celle
d’un vecteur, est indépendante du système de référence choisi.
A.2.3 Espace dual
Il convient de noter que les coordonnées covariantes prennent tout leur sens dès lors
que l’on considère l’espace dual associé à l’espace vectoriel initial. Ce dernier étant
muni d’un produit scalaire, on peut en effet définir l’ensemble des formes linéaires
x qui à tout vecteur y de E n associe le nombre réel
x (y) = x·y. L’introduction des
lois d’addition et de multiplication par un scalaire définit alors sur cet ensemble une
structure d’espace vectoriel, de même dimension que E n et noté E
∗
n . L’isomorphisme
qui s’établit entre l’espace initial et son dual (le produit scalaire jouit de propriétés
de linéarité) entraîne que l’on peut confondre en un même objet les vecteurs et les
formes linéaires qui leur sont associées.
S’agissant d’une base de l’espace dual, on peut légitimement choisir celle qui résulte des formes linéaires associées aux vecteurs de base de E n et telles que :
e
m (e l ) = d
m
l
(.23)
ce qui entraîne en particulier :
x m e
m
y
l e l
= x m y
l d
m
l = x m y
m = x·y
(.24)
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Lorsque nous serons confrontés à une telle situation (par exemple lors de la manipulation des équations de l’élasticité en coordonnées cartésiennes), nous conviendrons dans ce cas de placer systématiquement les indices en position basse.
Notons par ailleurs que le système d’équations (.18) définissant les x m en fonction
des composantes x
l peut être inversé (det
g lm
= 0), si bien que l’on pourra écrire :
x
m = g
ml x l
(.21)
où les termes g
ml constituent, à l’instar des g lm , un tableau symétrique (g
ml = g
lm )
et vérifient en outre de manière évidente la relation g
ml g rl = d
m
r .
D’un point de vue purement typographique, retenons que l’action d’un terme g lm
au sein d’une sommation revient à un abaissement des indices concernés, tandis que
les termes g
lm agissent en sens inverse.
Dès lors, l’utilisation des composantes contravariantes et covariantes permet d’établir différentes formulations du produit scalaire de deux vecteurs x et y :
x·y = g lm x
l y
m = g
ml x l y m = x
l y l = x m y
m
(.22)
Selon une forme d’écriture particulièrement concise, le produit scalaire procède
ainsi d’une sommation sur des indices de variance différente (opération appelée
contraction d’indice dans la terminologie des tenseurs). Cette formulation traduit le
caractère invariant du produit scalaire dont la réalité intrinsèque, de même que celle
d’un vecteur, est indépendante du système de référence choisi.
A.2.3 Espace dual
Il convient de noter que les coordonnées covariantes prennent tout leur sens dès lors
que l’on considère l’espace dual associé à l’espace vectoriel initial. Ce dernier étant
muni d’un produit scalaire, on peut en effet définir l’ensemble des formes linéaires
x qui à tout vecteur y de E n associe le nombre réel
x (y) = x·y. L’introduction des
lois d’addition et de multiplication par un scalaire définit alors sur cet ensemble une
structure d’espace vectoriel, de même dimension que E n et noté E
∗
n . L’isomorphisme
qui s’établit entre l’espace initial et son dual (le produit scalaire jouit de propriétés
de linéarité) entraîne que l’on peut confondre en un même objet les vecteurs et les
formes linéaires qui leur sont associées.
S’agissant d’une base de l’espace dual, on peut légitimement choisir celle qui résulte des formes linéaires associées aux vecteurs de base de E n et telles que :
e
m (e l ) = d
m
l
(.23)
ce qui entraîne en particulier :
x m e
m
y
l e l
= x m y
l d
m
l = x m y
m = x·y
(.24)