A.2 Compléments sur les vecteurs
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base orthogonale dont les vecteurs ont une norme égale à l’unité (base orthonormée),
les g lm seront définis par :
g lm = d lm
(.14)
A.2.2 Composantes contravariantes et covariantes
La décomposition d’un vecteur x de E n sur les deux bases précédemment introduites
permet d’établir, à l’aide des relations (.7), les lois de transformation auxquelles ses
composantes sont assujetties :
x = x
l e l = x
l
P
m
l e
m = x
m e
m = x
m
P
l
m e l
(.15)
d’où :
x
l = P
l
m x
m
(.16)
x
m = P
m
l x
l
soit encore, sous forme de matrices :
x
l
=
P
l
m
x
m
(.17)
x
m
=
P
m
l
x
l
La comparaison des relations (.7) et (.16) montre que les composantes x
l et x
m
obéissent à des lois de changement de base contraires à celles que suivent les vecteurs
de la base. Ces composantes sont ainsi dénommées composantes contravariantes.
Elles seront désignées par un indice supérieur.
D’autre part, le produit scalaire d’un vecteur x = x
l e l par un vecteur de base e m
fait apparaître de nouvelles composantes x m définies par :
x·e m = x
l e l ·e m = x
l g lm = x m
(.18)
Ces composantes sont quant à elles assujetties aux relations de passage :
x l = x·e l = x·P
m
l e
m = P
m
l x·e
m = P
m
l x
m
(.19)
x
m = x·e
m = x·P
l
m e l = P
l
m x·e l = P
l
m x l
Suivant une loi de transformation identique à celle des vecteurs de la base, les
quantités x l et x
m seront appelées composantes covariantes du vecteur x. On les
désigne à l’aide d’un indice inférieur.
Remarquons que dans le cas particulier d’un espace rapporté à une base orthonormée, il n’y a pas lieu de distinguer les composantes contravariantes et covariantes
d’un vecteur donné. On a en effet dans ce cas, en vertu des relations (.14) et (.18) :
x m = x
l g lm = x
l d lm = x
m
(.20)