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6 • Éléments d’une théorie des convertisseurs électromagnétiques...
Les équipotentielles de A à l’extérieur du cylindre aimanté s’identifient alors à des
arcs de cercles passant par l’origine et dont les centres sont situés le long de l’axe
interpolaire de l’aimant (axe passant par O perpendiculairement à Oy).
Notons enfin que le calcul développé dans le cas de l’aimant permanent reste formellement applicable au cas d’un milieu aimanté polarisable. Si le processus d’aimantation s’opère de manière uniforme, la polarisation permanente J p figurant dans
les expressions du potentiel vecteur doit simplement être remplacée par la polarisation induite J x . Cette quantité constitue cependant une inconnue du problème. Aussi,
c’est en introduisant la relation liant J x à H dans le milieu aimanté que le champ
résultant pourra être déterminé, comme nous le verrons à l’occasion de l’étude de la
machine à aimantation induite (cf. § 6.3.3).
6.2.2 Distribution sinusoïdale de courants superficiels
Grâce à l’équivalence rappelée au paragraphe 6.1.3, le champ dû à une nappe de
courants superficiels distribués au sein de la cavité cylindrique se déduit directement
du calcul précédent. L’aimant uniformément polarisé est équivalent à une densité
linéïque de courants fictifs k m donnée par :
k m = −
J u
m 0
=
J p
m 0
sin (u − a)
(6.13)
Par conséquent, le champ qu’il produit en tout point de la cavité a les mêmes caractéristiques que celui d’une bobine parcourue par un courant i, dont les conducteurs
superficiels sont répartis le long du rayon r = a − e selon une loi :
c (u) = C sin (u − a)
(6.14)
pourvu que soit respectée l’identité :
J p = m 0 Ci
(6.15)
On rappelle que la fonction de distribution des conducteurs c (u), d’amplitude
C, est comptée positivement pour un conducteur « aller » et négativement pour un
conducteur « retour » (cf. § 5.2.1).
Ainsi, dans le cas particulier où la bobine à répartition sinusoïdale est accolée à
l’alésage de rayon a, le champ régnant dans la cavité (de perméabilité m 0 ) est uniforme et d’intensité B = m 0 Ci.
D’un point de vue énergétique, l’équilibre isotherme de la cavité, de volume V c ,
est caractérisé par une enthalpie libre magnétostatique définie par (cf. § 3.4.2) :
G mag = −
(Vc)
H
0
B i d H i dv = −
(Vc)
m 0 H 2
2
dv
(6.16)
6 • Éléments d’une théorie des convertisseurs électromagnétiques...
Les équipotentielles de A à l’extérieur du cylindre aimanté s’identifient alors à des
arcs de cercles passant par l’origine et dont les centres sont situés le long de l’axe
interpolaire de l’aimant (axe passant par O perpendiculairement à Oy).
Notons enfin que le calcul développé dans le cas de l’aimant permanent reste formellement applicable au cas d’un milieu aimanté polarisable. Si le processus d’aimantation s’opère de manière uniforme, la polarisation permanente J p figurant dans
les expressions du potentiel vecteur doit simplement être remplacée par la polarisation induite J x . Cette quantité constitue cependant une inconnue du problème. Aussi,
c’est en introduisant la relation liant J x à H dans le milieu aimanté que le champ
résultant pourra être déterminé, comme nous le verrons à l’occasion de l’étude de la
machine à aimantation induite (cf. § 6.3.3).
6.2.2 Distribution sinusoïdale de courants superficiels
Grâce à l’équivalence rappelée au paragraphe 6.1.3, le champ dû à une nappe de
courants superficiels distribués au sein de la cavité cylindrique se déduit directement
du calcul précédent. L’aimant uniformément polarisé est équivalent à une densité
linéïque de courants fictifs k m donnée par :
k m = −
J u
m 0
=
J p
m 0
sin (u − a)
(6.13)
Par conséquent, le champ qu’il produit en tout point de la cavité a les mêmes caractéristiques que celui d’une bobine parcourue par un courant i, dont les conducteurs
superficiels sont répartis le long du rayon r = a − e selon une loi :
c (u) = C sin (u − a)
(6.14)
pourvu que soit respectée l’identité :
J p = m 0 Ci
(6.15)
On rappelle que la fonction de distribution des conducteurs c (u), d’amplitude
C, est comptée positivement pour un conducteur « aller » et négativement pour un
conducteur « retour » (cf. § 5.2.1).
Ainsi, dans le cas particulier où la bobine à répartition sinusoïdale est accolée à
l’alésage de rayon a, le champ régnant dans la cavité (de perméabilité m 0 ) est uniforme et d’intensité B = m 0 Ci.
D’un point de vue énergétique, l’équilibre isotherme de la cavité, de volume V c ,
est caractérisé par une enthalpie libre magnétostatique définie par (cf. § 3.4.2) :
G mag = −
(Vc)
H
0
B i d H i dv = −
(Vc)
m 0 H 2
2
dv
(6.16)