3.4 Systèmes électromécaniques à l’équilibre
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À cette fin, les hypothèses simplificatrices suivantes sont formulées :
– les frottements mécaniques et la résistance du bobinage sont négligés ;
– le comportement du circuit magnétique est linéaire ;
– l’actionneur évolue en régime quasi-statique, à température constante.
Dans ces conditions, l’état du système peut être caractérisé au moyen de trois paramètres indépendants : la température Q, la position angulaire du rotor a et le flux
magnétique w embrassé par les spires de la bobine. L’actionneur fonctionnant à température constante, il est naturel de choisir comme fonction énergétique de référence
l’énergie libre F = F (Q, a, w). On admettra que, pour le problème et la structure
électromagnétique considérés, cette fonction d’état s’exprime par :
F (Q, a, w) = F mag (Q, a, w) + F 0 (Q)
où F mag =
1
2
w 2
l
(partie magnétique de l’énergie libre)
(3.45)
avec
w = l i
l (Q, a) = l 0 (Q) + l 2 (Q) cos
2 a
(relations que l’on suppose déduites de l’expérience ou bien justifiées par un calcul
du champ magnétostatique).
Différentes conditions de fonctionnement de l’actionneur peuvent être considérées.
• Envisageons tout d’abord le cas où le système évolue à flux magnétique constant.
La résistance de la bobine étant négligée, ce type de fonctionnement revient en
pratique à court-circuiter ses bornes (v = ∂w/∂t = 0) après qu’un courant y ait été
initialement lancé. Dans ces conditions, l’énergie libre ne varie plus que sous l’effet
d’un seul paramètre, la position angulaire du rotor a. Le potentiel thermodynamique
correspondant est donc défini par la fonction :
F Q,w (a) =
1
2
w 2
l 0 + l 2 cos 2 a
+ F 0
(3.46)
(où l 0 , l 2 et F 0 sont des constantes positives).
Conformément aux raisonnements développés à la section 3.4.1 et comme l’illustre
la figure 3.3 (a), les minima de cette fonction déterminent les positions d’équilibre
stable (a = 0 modulo p) dans lesquelles le rotor cherche spontanément à se placer
en l’absence de sollicitations extérieures. Dans le cas où un couple extérieur, de moment g a , est appliqué sur son axe, le bilan d’énergie s’écrit, pour un déplacement da
élémentaire :
d F = −SdQ + g a da + idw = g a da
(3.47)
Par conséquent, le travail mécanique fourni par l’actionneur (à flux constant) au
cours d’un déplacement infiniment lent de son rotor entre deux positions A et B
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À cette fin, les hypothèses simplificatrices suivantes sont formulées :
– les frottements mécaniques et la résistance du bobinage sont négligés ;
– le comportement du circuit magnétique est linéaire ;
– l’actionneur évolue en régime quasi-statique, à température constante.
Dans ces conditions, l’état du système peut être caractérisé au moyen de trois paramètres indépendants : la température Q, la position angulaire du rotor a et le flux
magnétique w embrassé par les spires de la bobine. L’actionneur fonctionnant à température constante, il est naturel de choisir comme fonction énergétique de référence
l’énergie libre F = F (Q, a, w). On admettra que, pour le problème et la structure
électromagnétique considérés, cette fonction d’état s’exprime par :
F (Q, a, w) = F mag (Q, a, w) + F 0 (Q)
où F mag =
1
2
w 2
l
(partie magnétique de l’énergie libre)
(3.45)
avec
w = l i
l (Q, a) = l 0 (Q) + l 2 (Q) cos
2 a
(relations que l’on suppose déduites de l’expérience ou bien justifiées par un calcul
du champ magnétostatique).
Différentes conditions de fonctionnement de l’actionneur peuvent être considérées.
• Envisageons tout d’abord le cas où le système évolue à flux magnétique constant.
La résistance de la bobine étant négligée, ce type de fonctionnement revient en
pratique à court-circuiter ses bornes (v = ∂w/∂t = 0) après qu’un courant y ait été
initialement lancé. Dans ces conditions, l’énergie libre ne varie plus que sous l’effet
d’un seul paramètre, la position angulaire du rotor a. Le potentiel thermodynamique
correspondant est donc défini par la fonction :
F Q,w (a) =
1
2
w 2
l 0 + l 2 cos 2 a
+ F 0
(3.46)
(où l 0 , l 2 et F 0 sont des constantes positives).
Conformément aux raisonnements développés à la section 3.4.1 et comme l’illustre
la figure 3.3 (a), les minima de cette fonction déterminent les positions d’équilibre
stable (a = 0 modulo p) dans lesquelles le rotor cherche spontanément à se placer
en l’absence de sollicitations extérieures. Dans le cas où un couple extérieur, de moment g a , est appliqué sur son axe, le bilan d’énergie s’écrit, pour un déplacement da
élémentaire :
d F = −SdQ + g a da + idw = g a da
(3.47)
Par conséquent, le travail mécanique fourni par l’actionneur (à flux constant) au
cours d’un déplacement infiniment lent de son rotor entre deux positions A et B