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Chapitre 6 • Deux exemples de phénomènes relativistes
La « constellation GPS » est constituée d'une trentaine de satellites situés à
20000 km d'altitude sur des orbites circulaires judicieusement disposées et parcourues en 12 h (Figure 1 de l'introduction à la relativité dans cet ouvrage). Chacun
contient une horloge atomique à Rubidium synchronisée avec celles des autres satellites. Ainsi, le temps et la position de ces satellites sont connus avec une extrême
précision. Chaque satellite émet vers la Terre un signal micro-onde (aux alentours
de 1,5 GHz) formé d'une succession de brèves impulsions, accompagnées de signaux codés permettant d'identifier le numéro j du satellite et l'instant d'émission
tj de l'impulsion. Le récepteur, situé au point de coordonnées (x,y,z) à déterminer,
reçoit les signaux émis par les différents satellites qu' il a dans son horizon et enregistre le temps d'arrivée ljR de l'impulsion issue du satellite j par rapport à sa
propre horloge. Il a en mémoire des données très précises concernant les satellites
(et constamment remises à jour) qui lui permettent de connaître très précisément la
trajectoire Xj(t),yj(t),Zj(t) du satellite numéro j. Malheureusement, l'horloge incluse
dans le récepteur est de précision bien moindre que celle des satellites, et en particulier elle n'est pas synchronisée : le récepteur ne connaît donc le temps d'arrivée qu'à
une constante additive inconnue près : ljR = To + OtjR, où OtjR est mesuré et To est
mconnu.
L'impulsion électromagnétique s'est propagée à la vitesse de la lumière entre émetteur et récepteur et on a donc :
Cette équation comporte quatre inconnues : x,y,z,To. Pour en déduire sa position
en longitude, latitude et altitude, le récepteur a donc besoin des signaux provenant
de quatre satellites différents, qui fourniront quatre équations de propagation dont
la résolution donnera les valeurs des quatre quantités inconnues. Dans de bonnes
conditions de réception et pour des temps de mesure suffisamment longs, l' incertitude
sur la position trouvée est de l'ordre d'une dizaine de mètres, ce qui nécessite une
précision absolue sur la mesure des temps de propagation de l'ordre de la dizaine de
nanosecondes.
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6.1.2 Effets relativistes
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ij:
Les satellites se déplacent à une vitesse de 3 800 m.s- 1 , soit y - 1 ' . : : : : ' . 0,8 x 10- 10 .
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Il semblerait donc que les effets relativistes soient négligeables pour des objets aussi
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lents. Il n'en est rien en raison de la très grande précision nécessaire pour obtenir
un positionnement précis. En effet, le décalage relativiste entre le temps au sol t
et le temps t' du satellite vaut t' - t = (y - l)t. Il est de 10 ns au bout de deux
minutes, 300 ns au bout d' une heure, 7 µ s au bout d' un jour, correspondant à des
erreurs de positionnement respectives de 3 m, 100 m et 2 km. La prise en compte de
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Chapitre 6 • Deux exemples de phénomènes relativistes
La « constellation GPS » est constituée d'une trentaine de satellites situés à
20000 km d'altitude sur des orbites circulaires judicieusement disposées et parcourues en 12 h (Figure 1 de l'introduction à la relativité dans cet ouvrage). Chacun
contient une horloge atomique à Rubidium synchronisée avec celles des autres satellites. Ainsi, le temps et la position de ces satellites sont connus avec une extrême
précision. Chaque satellite émet vers la Terre un signal micro-onde (aux alentours
de 1,5 GHz) formé d'une succession de brèves impulsions, accompagnées de signaux codés permettant d'identifier le numéro j du satellite et l'instant d'émission
tj de l'impulsion. Le récepteur, situé au point de coordonnées (x,y,z) à déterminer,
reçoit les signaux émis par les différents satellites qu' il a dans son horizon et enregistre le temps d'arrivée ljR de l'impulsion issue du satellite j par rapport à sa
propre horloge. Il a en mémoire des données très précises concernant les satellites
(et constamment remises à jour) qui lui permettent de connaître très précisément la
trajectoire Xj(t),yj(t),Zj(t) du satellite numéro j. Malheureusement, l'horloge incluse
dans le récepteur est de précision bien moindre que celle des satellites, et en particulier elle n'est pas synchronisée : le récepteur ne connaît donc le temps d'arrivée qu'à
une constante additive inconnue près : ljR = To + OtjR, où OtjR est mesuré et To est
mconnu.
L'impulsion électromagnétique s'est propagée à la vitesse de la lumière entre émetteur et récepteur et on a donc :
Cette équation comporte quatre inconnues : x,y,z,To. Pour en déduire sa position
en longitude, latitude et altitude, le récepteur a donc besoin des signaux provenant
de quatre satellites différents, qui fourniront quatre équations de propagation dont
la résolution donnera les valeurs des quatre quantités inconnues. Dans de bonnes
conditions de réception et pour des temps de mesure suffisamment longs, l' incertitude
sur la position trouvée est de l'ordre d'une dizaine de mètres, ce qui nécessite une
précision absolue sur la mesure des temps de propagation de l'ordre de la dizaine de
nanosecondes.
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6.1.2 Effets relativistes
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Les satellites se déplacent à une vitesse de 3 800 m.s- 1 , soit y - 1 ' . : : : : ' . 0,8 x 10- 10 .
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Il semblerait donc que les effets relativistes soient négligeables pour des objets aussi
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lents. Il n'en est rien en raison de la très grande précision nécessaire pour obtenir
un positionnement précis. En effet, le décalage relativiste entre le temps au sol t
et le temps t' du satellite vaut t' - t = (y - l)t. Il est de 10 ns au bout de deux
minutes, 300 ns au bout d' une heure, 7 µ s au bout d' un jour, correspondant à des
erreurs de positionnement respectives de 3 m, 100 m et 2 km. La prise en compte de