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5.2. Transformation de Lorentz pour une onde
La phase se produisant en un point donné à un instant donné (le maximum de l'onde, son
annulation, le nombre d'oscillations ... ). Elle doit prendre donc la même valeur dans
tous les référentiels galiléens : c' est un invariant relativiste, et on doit donc avoir pour
tout (t, r)
wt - k · r = w' t' - k' · r'
(5.13)
où w et k sont la pulsation et le vecteur d' onde de la même onde dans le référentiel En utilisant l'expression (3 .1) de la transformation de Lorentz, et en exploitant le fait
que la relation (5.13) doit être vérifiée en tout point (x,y, z) et à chaque instant t, on
en déduit :
ou la transformation inverse :
w = y(w' + Vk~)
kx = y(k~ + w'V/c
2
)
ky = k~
kz = k~
w' = y (w - Vkx)
k~ = y(kx - wV/c
2 )
k~ = ky
k~ = kz
(5.14)
(5.15)
Considérons alors le quadrivecteur éi> caractérisant la phase de l' onde dans le référentiel éi>' = Lx(V)éi>
(5.16)
où L x(V) est la matrice 4 x 4 figurant dans l'équation (3.5) : on voit que pulsation
et vecteur d 'onde se transf orment de la même manière que temps et position. Ils appartiennent à une même catégorie de quadrivecteurs caractérisés par des propriétés
mathématiques identiques vis-à-vis du groupe de transformations de Lorentz. Cette
analogie formelle entre propriétés de la lumière envisagée comme particule ponctuelle et comme onde est extrêmement profonde : elle se prolonge en mécanique
quantique dans la fameuse dualité onde-corpuscule que nous exposerons aux chapitres 10 et 13. Cette analogie a d'ailleurs servi de guide lors de l'élaboration de la
théorie quantique.
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