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Introduction à la physique moderne
280
enfermant une particule de masse m < < M dans un puits de potentiel infini à une dimension de largeur a. Quelles sont les longueurs d'onde possibles del' onde de de Broglie associée à la particule enfermée dans la boîte
quantique? L'énergie de cette particule peut-elle prendre n'importe quelle
valeur? Rappeler brièvement le raisonnement qui permet de déterminer
1' énergie des deux premiers états E 1 et E2 de la boîte quantique et donner
leur expression. On pose E2 - E1 = hva.
2. Déterminer numériquement à 1 % près va pour m = io- 3 a kg, a= io- 9 m.
3. On revient au problème de l'absorption du photon par la boîte quantique
susceptible de se déplacer dans son ensemble et initialement dans son état
interne de plus basse énergie E 1 . À cause de la quantification de l'énergie
étudiée dans la question d. l la boîte après absorption du photon se trouve
dans son état excité d'énergie E 2 , et sa masse après absorption ne peut
prendre que la valeur M' = M + hva/c 2 . Déduire de la question c.2 que la
fréquence du photon susceptible d'être absorbé par la boîte quantique libre
de se déplacer est donnée par :
hv
2
a
v =va+ 2Mc2
Justifier le nom d' «effet de recul » donné à cet effet.
4. La précision relative actuelle des mesures de fréquence de la lumière est
de io- 12 . L'effet de recul est-il mesurable avec la valeur numérique déjà
trouvée pour va et M = io25 kg?
e) 1. On appelle respectivement ll/t1 > et ll/t2 > les états quantiques de la boîte
quantique d'énergies respectives E 1 et E 2 , et on dispose d'un dispositif de
mesure de cette énergie sur chaque boîte quantique individuelle. On peut
2.
ajuster les propriétés de la lumière absorbée par la boîte pour que l'état de
la boîte après absorption, à t = 0, soit :
11/t >= cos Bll/t1 > + sin Bll/t2 >
Déterminer la probabilité de trouver la boîte dans son niveau d'énergie E 2 .
Dans quel état se trouvera le système après la mesure ? Pour quelles valeurs
de e peut-on prédire avec certitude le résultat d'une mesure d'énergie sur
une boîte donnée ?
En déduire 1 'énergie moyenne Ë du système lorsqu'on effectue un très
grand nombre de mesures successives sur des boîtes quantiques identiques
toutes préparées dans 1 'état 11/t >. Déterminer aussi 1 'incertitude de cette
mesure, en calculant sa variance /1E 2 = (F -2) - (Ë) 2 . Pour quelle valeur de
e l'incertitude est-elle maximale? minimale?
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quantique? L'énergie de cette particule peut-elle prendre n'importe quelle
valeur? Rappeler brièvement le raisonnement qui permet de déterminer
1' énergie des deux premiers états E 1 et E2 de la boîte quantique et donner
leur expression. On pose E2 - E1 = hva.
2. Déterminer numériquement à 1 % près va pour m = io- 3 a kg, a= io- 9 m.
3. On revient au problème de l'absorption du photon par la boîte quantique
susceptible de se déplacer dans son ensemble et initialement dans son état
interne de plus basse énergie E 1 . À cause de la quantification de l'énergie
étudiée dans la question d. l la boîte après absorption du photon se trouve
dans son état excité d'énergie E 2 , et sa masse après absorption ne peut
prendre que la valeur M' = M + hva/c 2 . Déduire de la question c.2 que la
fréquence du photon susceptible d'être absorbé par la boîte quantique libre
de se déplacer est donnée par :
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Justifier le nom d' «effet de recul » donné à cet effet.
4. La précision relative actuelle des mesures de fréquence de la lumière est
de io- 12 . L'effet de recul est-il mesurable avec la valeur numérique déjà
trouvée pour va et M = io25 kg?
e) 1. On appelle respectivement ll/t1 > et ll/t2 > les états quantiques de la boîte
quantique d'énergies respectives E 1 et E 2 , et on dispose d'un dispositif de
mesure de cette énergie sur chaque boîte quantique individuelle. On peut
2.
ajuster les propriétés de la lumière absorbée par la boîte pour que l'état de
la boîte après absorption, à t = 0, soit :
11/t >= cos Bll/t1 > + sin Bll/t2 >
Déterminer la probabilité de trouver la boîte dans son niveau d'énergie E 2 .
Dans quel état se trouvera le système après la mesure ? Pour quelles valeurs
de e peut-on prédire avec certitude le résultat d'une mesure d'énergie sur
une boîte donnée ?
En déduire 1 'énergie moyenne Ë du système lorsqu'on effectue un très
grand nombre de mesures successives sur des boîtes quantiques identiques
toutes préparées dans 1 'état 11/t >. Déterminer aussi 1 'incertitude de cette
mesure, en calculant sa variance /1E 2 = (F -2) - (Ë) 2 . Pour quelle valeur de
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