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15.4. Principe d'exclusion de Pauli
La description quantique de deux particules 1 et 2 ne se fait pas en considérant
l'union de deux vecteurs d'état l!/11), l!/12), mais avec un seul vecteur d'état 11/t) qui
contient les informations sur les deux particules. Par exemple, dans le cas simple
où les deux paramètres caractérisant la particule sont sa position sur l' axe Ox et
la projection mn de son spin sur l'axe Oz, la quantité l(x1,m1,X2,m211/t)l 2 donne la
probabilité de trouver la particule 1 en x 1 avec une projection m 1 n et et la particule 2
en x2 avec une projection m2n.
Si les deux particules sont indiscernables, on ne peut pas leur attribuer de numéro,
et donc cette probabilité est invariante par échange de ces numéros :
l(x2,m2,x1,m111/1)1 2 = l(x1 ,m1 ,x2,m21!/1)1 2 .
(15.23)
1 5.4.3 Bosons et fermions
L'indiscernabilité des particules microscopiques induit une différence majeure entre
le comportement collectif de particules de spin entier et celui de particules de spin
demi-entier.
La relation (1 5.23) implique que la quantité (x 1 ,m 1 ,x2,m2ll/t) est invariante à un
coefficient de module un près lors de l'échange des deux particules. On montre que
ce coefficient est égal à ( -1) 2 S + 1 :
(x2,m2,x1,m1ll/t) = (-1) 2 S+ l(x1,m1,x2,m2ll/t)
(15.24)
c'est-à-dire qu'il vaut 1 pour les particules de spin entier, et -1 pour les particules de
spin demi-entier.
Dit autrement, les particules de spin entier, que l'on appelle des bosons, sont
décrites par un vecteur d'état symétrique sous l'échange de deux particules quelconques, alors que les particules de spin demi-entier, que l'on appelle des fermions,
sont décrites par un vecteur d'état anti-symétrique sous l'échange de deux particules
quelconques
3 .
1 5.4.4 Principe d'exclusion de Pauli
Considérons alors la probabilité de détecter deux fermions au même point x et avec
la même projection mn. On a :
(x2 = x ,m2 = m,x1 = x,m1 = ml!/J) = -(x1 = x,m1 = m, x2 = x ,m2 = ml!/J) (15.25)
ce qui implique (x ,m,x,ml!/J) = 0 : on ne peut pas détecter deux fermions au même
endroit et avec la même valeur de m. Par contre, la démonstration ne s'applique pas
à deux fermions détectés au même point, mais avec deux valeurs de m différentes.
Ainsi, deux électrons (spin S = 1/2) dont les projections sont opposées (m = ± 1/2)
peuvent se trouver au même point.
3. Ce résultat porte le nom de théorème spin-statistique.
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15.4. Principe d'exclusion de Pauli
La description quantique de deux particules 1 et 2 ne se fait pas en considérant
l'union de deux vecteurs d'état l!/11), l!/12), mais avec un seul vecteur d'état 11/t) qui
contient les informations sur les deux particules. Par exemple, dans le cas simple
où les deux paramètres caractérisant la particule sont sa position sur l' axe Ox et
la projection mn de son spin sur l'axe Oz, la quantité l(x1,m1,X2,m211/t)l 2 donne la
probabilité de trouver la particule 1 en x 1 avec une projection m 1 n et et la particule 2
en x2 avec une projection m2n.
Si les deux particules sont indiscernables, on ne peut pas leur attribuer de numéro,
et donc cette probabilité est invariante par échange de ces numéros :
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(15.23)
1 5.4.3 Bosons et fermions
L'indiscernabilité des particules microscopiques induit une différence majeure entre
le comportement collectif de particules de spin entier et celui de particules de spin
demi-entier.
La relation (1 5.23) implique que la quantité (x 1 ,m 1 ,x2,m2ll/t) est invariante à un
coefficient de module un près lors de l'échange des deux particules. On montre que
ce coefficient est égal à ( -1) 2 S + 1 :
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c'est-à-dire qu'il vaut 1 pour les particules de spin entier, et -1 pour les particules de
spin demi-entier.
Dit autrement, les particules de spin entier, que l'on appelle des bosons, sont
décrites par un vecteur d'état symétrique sous l'échange de deux particules quelconques, alors que les particules de spin demi-entier, que l'on appelle des fermions,
sont décrites par un vecteur d'état anti-symétrique sous l'échange de deux particules
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1 5.4.4 Principe d'exclusion de Pauli
Considérons alors la probabilité de détecter deux fermions au même point x et avec
la même projection mn. On a :
(x2 = x ,m2 = m,x1 = x,m1 = ml!/J) = -(x1 = x,m1 = m, x2 = x ,m2 = ml!/J) (15.25)
ce qui implique (x ,m,x,ml!/J) = 0 : on ne peut pas détecter deux fermions au même
endroit et avec la même valeur de m. Par contre, la démonstration ne s'applique pas
à deux fermions détectés au même point, mais avec deux valeurs de m différentes.
Ainsi, deux électrons (spin S = 1/2) dont les projections sont opposées (m = ± 1/2)
peuvent se trouver au même point.
3. Ce résultat porte le nom de théorème spin-statistique.
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