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> a.
0
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Chapitre 15 • Les règles générales de la mécanique quantique
1 5.3.3 «Éléments propres» d'une mesure, observable
À toute grandeur physique A mesurable sont donc attachés la liste des résultats possibles ai et les états associés lcf>i). Il est alors commode d'introduire un opérateur
linéaire, noté Â, agissant sur l'espace de Hilbert des états du système, et défini par
son action sur la base des vecteurs lcf>i) :
(15.13)
 est donc une matrice diagonale sur la base {li)}. Les ai sont les valeurs propres de
1' opérateur Â, et les vecteurs d'état lcf>i) sont les vecteurs propres associés. L'opérateur
Hamiltonien que nous avons introduit à la section 12.4, est donc l'observable associée
à la grandeur physique « énergie du système » .
L'introduction de l'observable permet en particulier de donner une expression
simple à la valeur moyenne, ou espérance mathématique E 1 lf'/A) , notée en mécanique quantique (Â), de la mesure de A lorsqu'elle est effectuée un grand nombre de
fois sur le système préparé à chaque fois dans un état l 'F) quelconque donné. On peut
montrer qu' elle est égale au produit scalaire des vecteurs d'état  l 'F) et l 'F), que l'on
note habituellement ( 'FIÂ l 'F).
(Â) = Ellf')(A) = I aiProba (ai, 11/1)) = ( 'Fl(ÂI 'F))
(15.14)
Dans le cas de 1 ' espace de Hilbert des fonctions d'onde, les opérateurs linéaires
sont définis par leur action sur une fonction d'onde quelconque. Ils peuvent, par
exemple, faire intervenir des dérivées de la fonction considérée. Par exemple, on
définit 1 ' opérateur position par :
.X (1/1 (x ,t)) = x.l/J (x,t)
(15.15)
Quant à la quantité de mouvement dans la direction x, l'opérateur associé s'écrit:
Px (1/1 (x,t)) = - in :x (1/1 (x,t))
(15.16)
où la quantité x désigne la variable x et non pas l' opérateur .X. En effet, l'état donnant
une valeur certaine à la quantité de mouvement p introduit en 14.1 , qui a pour fonction d' onde l/Jp(x) = l/Joeipx/n est état propre de cet opérateur avec la valeur propre p:
(15.17)
La valeur moyenne de la position de la particule, par exemple, s' écrit alors, en
utilisant l'expression du produit scalaire pour la fonction d'onde :
+oo
+ oo
E 1ip>(x) = (!/Il (.X 11/1)) = f l/l*(x)x .l/J (x) dx = f x ll/J (x) 1
2 dx
(15.18)
- OO
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Chapitre 15 • Les règles générales de la mécanique quantique
1 5.3.3 «Éléments propres» d'une mesure, observable
À toute grandeur physique A mesurable sont donc attachés la liste des résultats possibles ai et les états associés lcf>i). Il est alors commode d'introduire un opérateur
linéaire, noté Â, agissant sur l'espace de Hilbert des états du système, et défini par
son action sur la base des vecteurs lcf>i) :
(15.13)
 est donc une matrice diagonale sur la base {li)}. Les ai sont les valeurs propres de
1' opérateur Â, et les vecteurs d'état lcf>i) sont les vecteurs propres associés. L'opérateur
Hamiltonien que nous avons introduit à la section 12.4, est donc l'observable associée
à la grandeur physique « énergie du système » .
L'introduction de l'observable permet en particulier de donner une expression
simple à la valeur moyenne, ou espérance mathématique E 1 lf'/A) , notée en mécanique quantique (Â), de la mesure de A lorsqu'elle est effectuée un grand nombre de
fois sur le système préparé à chaque fois dans un état l 'F) quelconque donné. On peut
montrer qu' elle est égale au produit scalaire des vecteurs d'état  l 'F) et l 'F), que l'on
note habituellement ( 'FIÂ l 'F).
(Â) = Ellf')(A) = I aiProba (ai, 11/1)) = ( 'Fl(ÂI 'F))
(15.14)
Dans le cas de 1 ' espace de Hilbert des fonctions d'onde, les opérateurs linéaires
sont définis par leur action sur une fonction d'onde quelconque. Ils peuvent, par
exemple, faire intervenir des dérivées de la fonction considérée. Par exemple, on
définit 1 ' opérateur position par :
.X (1/1 (x ,t)) = x.l/J (x,t)
(15.15)
Quant à la quantité de mouvement dans la direction x, l'opérateur associé s'écrit:
Px (1/1 (x,t)) = - in :x (1/1 (x,t))
(15.16)
où la quantité x désigne la variable x et non pas l' opérateur .X. En effet, l'état donnant
une valeur certaine à la quantité de mouvement p introduit en 14.1 , qui a pour fonction d' onde l/Jp(x) = l/Joeipx/n est état propre de cet opérateur avec la valeur propre p:
(15.17)
La valeur moyenne de la position de la particule, par exemple, s' écrit alors, en
utilisant l'expression du produit scalaire pour la fonction d'onde :
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E 1ip>(x) = (!/Il (.X 11/1)) = f l/l*(x)x .l/J (x) dx = f x ll/J (x) 1
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