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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
On remarque que la fonction d'onde t/fv(x) est solution de l'équation :
-in:xlf!v{x) = mvlf!v(x)
(14.42)
c'est-à-dire, en langage mathématique, que lf!v(x) est une fonction propre de
l'opérateur -in Jx, la valeur propre associée étant la quantité de mouvement
p= mv.
Ce n'est pas fortuit, car on peut montrer, et c'est l'un des principes fondamentaux de la mécanique quantique, que les seuls résultats possibles d'une mesure sont en fait les valeurs propres d'opérateurs particuliers, appelés des observables, que lon représente habituellement par des lettres surmontées d'un
«chapeau ».
On peut ainsi définir l'opérateur quantité de mouvement suivant la direction Ox :
Px. dont l'effet sur une fonction d'onde est donné par la relation :
p"x (lf!(x, t)) = - in :x lf!(x, t)
(14.43)
L'opérateur position x est quant à lui défini par la relation :
X (l/f(X, t)) = X.l/f(X, t)
( 14.44)
où la quantité x désigne la variable x et non pas l'opérateur x. L'action de l'opérateur position sur une fonction d'onde est donc très simple : elle consiste uniquement à multiplier la fonction d'onde par la variable position ! 2
Par exemple, si l'on considère l'expression non-relativiste de l'énergie totale
E = p;;2 m + V(x) (à une dimension), alors on peut lui associer une observable :
l'opérateur Hamiltonien H, que l'on obtient en remplaçant les variables classiques
x et Px par les opérateurs x et Px dans l'expression classique de E 3 :
( 14.45)
L'action de H sur une fonction d'onde quelconque redonne alors bien le membre
de droite de l'équation (14. 7) :
A
n2 a2
H(lf!(X,t)) = --2 - 2 lf!(x, t) + V(x)lf!(x, t)
m ax
(14.46)
2. D'autres opérateurs peuvent alors être déduits de ces deux défirutions (certaines grandeurs, en revanche, ne peuvent être déduites de .X et ftx, c'est le cas des opérateurs de spin ou de polarisation du
photon par exemple) .
3. Le principe des opérateurs associés est en fait plus subtil et consiste à associer aux variables classiques
des opérateurs correctement symétrisés. Par exemple, à la grandeur classique x Px est associé l'opérateur
(xftx + PxX) /2.
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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
On remarque que la fonction d'onde t/fv(x) est solution de l'équation :
-in:xlf!v{x) = mvlf!v(x)
(14.42)
c'est-à-dire, en langage mathématique, que lf!v(x) est une fonction propre de
l'opérateur -in Jx, la valeur propre associée étant la quantité de mouvement
p= mv.
Ce n'est pas fortuit, car on peut montrer, et c'est l'un des principes fondamentaux de la mécanique quantique, que les seuls résultats possibles d'une mesure sont en fait les valeurs propres d'opérateurs particuliers, appelés des observables, que lon représente habituellement par des lettres surmontées d'un
«chapeau ».
On peut ainsi définir l'opérateur quantité de mouvement suivant la direction Ox :
Px. dont l'effet sur une fonction d'onde est donné par la relation :
p"x (lf!(x, t)) = - in :x lf!(x, t)
(14.43)
L'opérateur position x est quant à lui défini par la relation :
X (l/f(X, t)) = X.l/f(X, t)
( 14.44)
où la quantité x désigne la variable x et non pas l'opérateur x. L'action de l'opérateur position sur une fonction d'onde est donc très simple : elle consiste uniquement à multiplier la fonction d'onde par la variable position ! 2
Par exemple, si l'on considère l'expression non-relativiste de l'énergie totale
E = p;;2 m + V(x) (à une dimension), alors on peut lui associer une observable :
l'opérateur Hamiltonien H, que l'on obtient en remplaçant les variables classiques
x et Px par les opérateurs x et Px dans l'expression classique de E 3 :
( 14.45)
L'action de H sur une fonction d'onde quelconque redonne alors bien le membre
de droite de l'équation (14. 7) :
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H(lf!(X,t)) = --2 - 2 lf!(x, t) + V(x)lf!(x, t)
m ax
(14.46)
2. D'autres opérateurs peuvent alors être déduits de ces deux défirutions (certaines grandeurs, en revanche, ne peuvent être déduites de .X et ftx, c'est le cas des opérateurs de spin ou de polarisation du
photon par exemple) .
3. Le principe des opérateurs associés est en fait plus subtil et consiste à associer aux variables classiques
des opérateurs correctement symétrisés. Par exemple, à la grandeur classique x Px est associé l'opérateur
(xftx + PxX) /2.
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