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Chapitre 12 • Systèmes à plusieurs états : notion d'états quantiques
12.2 MANIPULATION ET MESURE D'ÉTATS
QUANTIQUES
12.2. l Le cadre mathématique
Prenons pour l'instant le problème d'un point de vue abstrait, en suivant la procédure engagée dans le chapitre précédent. Supposons que nous soyons en présence
d'un système isolé dont l'espace des états possibles est de dimension N. Rappelons
que N = 2 pour la polarisation d'un photon ou le moment magnétique d'un atome
d'argent (encart 12.1). Nous verrons en exemple un cas où N = 3: les neutrinos. Un
autre exemple est constitué par une cavité optique piégeant la lumière, dans laquelle
les états possibles pour la lumière sont les états à nombre de photons donné, de zéro
à quelques unités.
Supposons que nous soyons capable d' identifier N états quantiques formant une
base de cet espace. Cette base est notée {IH), IV)} dans le cas de la polarisation du
photon, et nous la notons {11/!n)}n=l...N dans le cas général. Dans le cadre de la polarisation, l'état le plus général est combinaison linéaire des états IH) et IV). Ici encore,
si notre système est dans un état inconnu 11/J), il est possible de le décomposer sur les
états de base :
N
11/J) = I Cn li/ln) OÙ
n=l
{q, .. . ,CN} E CN
Ici 1 2 + ... + lcNl 2 = 1
(12.1)
Les coefficients ci sont les coefficients complexes de la décomposition unique de
11/1) dans la base des états. L'ensemble des états possibles forme un espace vectoriel
à coefficients complexes, aussi appelé espace de Hilbert, muni du produit scalaire
hermitien:
Si li/la) et li/lb) sont deux vecteurs de l'espace des états:
li/la)= C1 l!/11) + c2 ll/!2) + ... + CN li/IN)
11/Jb) = d1 l!/11 ) + d2 ll/JÛ + · · · + dN 11/JN)
on définit le produit scalaire hermitien :
(l/lbll/la) = c1d~ + c2d; + . .. + CNd~
Pour un état physique, on impose aussi la règle de normalisation :
1(!/Ill/!)1 2 = 1.
12.2.2 Le principe de superposition
(12.2)
La description précédente, inspirée de ce11e des états de polarisation, nous a amené à
poser que tout vecteur d'état se décompose de façon unique dans la base des vecteurs
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Chapitre 12 • Systèmes à plusieurs états : notion d'états quantiques
12.2 MANIPULATION ET MESURE D'ÉTATS
QUANTIQUES
12.2. l Le cadre mathématique
Prenons pour l'instant le problème d'un point de vue abstrait, en suivant la procédure engagée dans le chapitre précédent. Supposons que nous soyons en présence
d'un système isolé dont l'espace des états possibles est de dimension N. Rappelons
que N = 2 pour la polarisation d'un photon ou le moment magnétique d'un atome
d'argent (encart 12.1). Nous verrons en exemple un cas où N = 3: les neutrinos. Un
autre exemple est constitué par une cavité optique piégeant la lumière, dans laquelle
les états possibles pour la lumière sont les états à nombre de photons donné, de zéro
à quelques unités.
Supposons que nous soyons capable d' identifier N états quantiques formant une
base de cet espace. Cette base est notée {IH), IV)} dans le cas de la polarisation du
photon, et nous la notons {11/!n)}n=l...N dans le cas général. Dans le cadre de la polarisation, l'état le plus général est combinaison linéaire des états IH) et IV). Ici encore,
si notre système est dans un état inconnu 11/J), il est possible de le décomposer sur les
états de base :
N
11/J) = I Cn li/ln) OÙ
n=l
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Ici 1 2 + ... + lcNl 2 = 1
(12.1)
Les coefficients ci sont les coefficients complexes de la décomposition unique de
11/1) dans la base des états. L'ensemble des états possibles forme un espace vectoriel
à coefficients complexes, aussi appelé espace de Hilbert, muni du produit scalaire
hermitien:
Si li/la) et li/lb) sont deux vecteurs de l'espace des états:
li/la)= C1 l!/11) + c2 ll/!2) + ... + CN li/IN)
11/Jb) = d1 l!/11 ) + d2 ll/JÛ + · · · + dN 11/JN)
on définit le produit scalaire hermitien :
(l/lbll/la) = c1d~ + c2d; + . .. + CNd~
Pour un état physique, on impose aussi la règle de normalisation :
1(!/Ill/!)1 2 = 1.
12.2.2 Le principe de superposition
(12.2)
La description précédente, inspirée de ce11e des états de polarisation, nous a amené à
poser que tout vecteur d'état se décompose de façon unique dans la base des vecteurs
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