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Physique des systèmes complexes
canonique contenant N répliques indépendantes de ce système. Le nombre de façons d'avoir n particules dans l'état fondamental E 1 vaut
e n - N!
N- n!(N -n)!
(3)
et l'énergie libre du système vaut
F = nE1 +(N -n)E2 -TS = NE2 -n(E2 -E1)-KTln(Q)
(4)
Si la température est fixée, alors l'équilibre thermodynamique correspond au minimum de l'énergie libre, soit encore
dF =O
dn
En utilisant l'approximation de Stirling, on obtient immédiatement
N
n = - - - - - - -
l + e(EJ -E2 )/KT
(5)
(6)
et son énergie interne E ne peut varier qu'entre NE 1 (son état fondamental) et
NE 2 (son état le plus excité) :
E = nE1 +(N -n)E2
(7)
Cependant, si l'ensemble est en équilibre avec une source de chaleur caractérisée
par une température Ts, il peut échanger de l'énergie avec cette source. Il peut, par
exemple, se retrouver dans une situation où il est totalement « gelé » ayant fourni
toute son énergie possible à la source. Dans un tel cas, toutes ses particules sont
situées dans l'état d'énergie E 1 • Aussi, en posant n = N dans (6), on trouve que,
dans cette situation, la température de l'ensemble vaut T = 0 et non pas Ts ! Même
si ce résultat est déjà bizarre, il est facile à admettre puisqu'il consiste en fait à
dire qu'un système dans son état d'énergie minimum possède une température
nulle.
Par contre, si l'échange d'énergie avec l'extérieur plaçait un nombre croissant de
particules dans l'état d'énergie E 2 , alors, en utilisant l'expression (6), on serait
obligé d'admettre que la température du système tende vers l'infini, puis, subitement change brutalement de signe et devienne négative dès lors que n < N / 2 .
Il n'en demeure pas moins que lorsque n décroît, l'énergie ne peut qu'augmenter,
même lorsque l'on se trouve dans la plage des températures négatives. Ainsi, d'un
point de vue mathématique, tout ensemble de particules ne pouvant avoir que
deux états d'énergie possibles peut parfaitement avoir une température négative
dès lors qu'il y a «inversion» de la population, c'est-à-dire moins de particules
dans l'état fondamental que dans l'état excité.
En physique classique, les systèmes thermodynamiques sont composés de particules possédant des degrés de liberté de translation, de rotations ... De tels systèmes
ne peuvent absolument pas posséder de températures négatives car le nombre de
configurations augmente avec l'énergie qu'ils contiennent.
Physique des systèmes complexes
canonique contenant N répliques indépendantes de ce système. Le nombre de façons d'avoir n particules dans l'état fondamental E 1 vaut
e n - N!
N- n!(N -n)!
(3)
et l'énergie libre du système vaut
F = nE1 +(N -n)E2 -TS = NE2 -n(E2 -E1)-KTln(Q)
(4)
Si la température est fixée, alors l'équilibre thermodynamique correspond au minimum de l'énergie libre, soit encore
dF =O
dn
En utilisant l'approximation de Stirling, on obtient immédiatement
N
n = - - - - - - -
l + e(EJ -E2 )/KT
(5)
(6)
et son énergie interne E ne peut varier qu'entre NE 1 (son état fondamental) et
NE 2 (son état le plus excité) :
E = nE1 +(N -n)E2
(7)
Cependant, si l'ensemble est en équilibre avec une source de chaleur caractérisée
par une température Ts, il peut échanger de l'énergie avec cette source. Il peut, par
exemple, se retrouver dans une situation où il est totalement « gelé » ayant fourni
toute son énergie possible à la source. Dans un tel cas, toutes ses particules sont
situées dans l'état d'énergie E 1 • Aussi, en posant n = N dans (6), on trouve que,
dans cette situation, la température de l'ensemble vaut T = 0 et non pas Ts ! Même
si ce résultat est déjà bizarre, il est facile à admettre puisqu'il consiste en fait à
dire qu'un système dans son état d'énergie minimum possède une température
nulle.
Par contre, si l'échange d'énergie avec l'extérieur plaçait un nombre croissant de
particules dans l'état d'énergie E 2 , alors, en utilisant l'expression (6), on serait
obligé d'admettre que la température du système tende vers l'infini, puis, subitement change brutalement de signe et devienne négative dès lors que n < N / 2 .
Il n'en demeure pas moins que lorsque n décroît, l'énergie ne peut qu'augmenter,
même lorsque l'on se trouve dans la plage des températures négatives. Ainsi, d'un
point de vue mathématique, tout ensemble de particules ne pouvant avoir que
deux états d'énergie possibles peut parfaitement avoir une température négative
dès lors qu'il y a «inversion» de la population, c'est-à-dire moins de particules
dans l'état fondamental que dans l'état excité.
En physique classique, les systèmes thermodynamiques sont composés de particules possédant des degrés de liberté de translation, de rotations ... De tels systèmes
ne peuvent absolument pas posséder de températures négatives car le nombre de
configurations augmente avec l'énergie qu'ils contiennent.