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Physique des systèmes complexes
lu =- 1 -(Llw -Luu]grad(T)=-Àgrad(T)
T 2 LEE
En introduisant enfin les coefficients
LEE
a=-- et
T
les relations (5) et (6) peuvent être réécrites sous la forme
lu =-(Tas 2 +Â)grad(T)+TasË
1 E = aË - sagrad(T)
(17)
(18)
(19)
(20)
Cette identification permet de calculer l'énergie calorifique cédée au milieu extérieur dans le cas le plus général, ou plus exactement la divergence de la densité de
courant J u. En utilisant la relation Js = Ij Zjlj, il vient
(21)
En exprimant dans ( 19) le champ électrique en fonction de Je, on obtient
lu = -Tas 2 grad(T)-Âgrad(T) + Tii E + Tas 2 grad(T) = -Âgrad(T) + Tii E
En introduisant cette expression dans la divergence de l'expression (21), on trouve
div(lQ) = div(Tii E )-div[Âgrad(T)]+ 1 Egradrp+r/xfiv(l E)
(22)
Dans l'état stationnaire la divergence de JE est bien évidemment nulle. En exprimant le terme Ë = -gradrp en fonction de Je, on obtient enfin
div(JQ) = div(Tsl E )-div[Âgrad(T)]-1E[ 1 : +Ggrad(T))
(23)
soit, en définitive
-
-
J2
div(J Q) = TJ Egrad(s)-div[Âgrad(T)]-Ï
(j
(24)
Le second terme de cette expression correspond au phénomène de conductivité
thermique, le troisième correspond à l'effet Joule. Le premier représente l'effet
Thomson. Puisque le coefficient s dépend de la température, il vient
grad(s) = de grad(T) = !_ grad(T)
dT
T
où l'on a introduit le coefficient Thomson r. Avec cette nouvelle notation,
l'énergie calorifique perdue par le système est donnée par
-
J2
-
div(J Q) = _ _§_ _ div[.Â.grad(T)] + r:J E .grad(T)
(j
(25)