Monte-Carlo appliqué aux calculs de dosimétrie et de radioprotection 403
Par exemple, considérons que l’énergie d’un photon incident soit de
0,8 MeV. En reprenant les expressions (6.15) et (6.16), faisons l’hypothèse que
le calcul des probabilités partielles ˆ i
p ainsi que les probabilités cumulées ˆ ( )
P j
conduisent aux résultats suivants :
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0,1
0,3
0,2
0,4
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1 0,1
2
0,4
3
0,6 et
4 1
p
p
p
p
P
P
P
P
=
=
=
=
=
=
=
=
On tire le nombre aléatoire ξ1 = 0,3 compris dans l’intervalle [0,1] :
( )
( )
( )
1
ˆ
ˆ
ˆ
1 0,1
0,3
2
0,4
2
P
P
P
=
< ξ =
≤
=
est donné
La probabilité cumulée ˆ (2)
P
étant choisie, on tire un second nombre aléatoire ξ2 et on prend l’expression relative à k = 2 de (6.18). Ainsi, on obtient
l’énergie du photon Compton diffusé comme suit :
( )
2
2
1
2
2
2
1
0,511
E
E
E
E
E
E
x
−ξ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
ξ
−
§
·
′ =
=
=
= +
¨
¸
β
Φ ξ
©
¹
Admettons que le tirage d’un second nombre aléatoire conduise au résultat
suivant ξ2 = 0,6, l’énergie du photon diffusé est finalement :
0,6
2 0,8
1
0,8 341 keV
0,511
E
−
γ
§
·
§
·
×
′ = +
×
=
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
On obtient la direction θ d’émission au moyen de l’expression reliant
l’énergie du photon incident au photon Compton du chapitre 2 :
(
)
2
1
1
1
1
cos
1
1 0,511
0,1402
0,341 0,8
cos 0,1402
82
e
m c
E
E
a
γ
γ
§
·
§
·
θ = −
−
= −
×
−
=
¨
¸
¨
¸
′
©
¹
©
¹
⇔ θ =
= °
Pour finir de caractériser la direction du photon Compton diffusé, reste à
déterminer l’azimut ϕ. Comme l’émission du photon Compton répond à une
symétrie de révolution, tous les angles compris entre 0 et 2π sont équiprobables ;
par conséquent, la probabilité d’avoir un angle compris entre ϕ et ϕ + dϕ est
donnée par (6.19).
( )
d
d
2
p
ϕ
ϕ ϕ = π
(6.19)
La densité de probabilité cumulée d’avoir un angle inférieur à ϕ est donnée
par (6.20).
( )
0
d
2
2
P
ϕ ϕ
ϕ
ϕ =
=
π
π
³
(6.20)
En fixant la valeur de la distribution à un troisième nombre aléatoire :
( ) 3
P ϕ = ξ il vient :
3
2
ϕ = πξ . Si ce tirage donne 0,1 par exemple, on obtient :
180
2 0,1
36
ϕ = π×
×
= °
π
.
Par exemple, considérons que l’énergie d’un photon incident soit de
0,8 MeV. En reprenant les expressions (6.15) et (6.16), faisons l’hypothèse que
le calcul des probabilités partielles ˆ i
p ainsi que les probabilités cumulées ˆ ( )
P j
conduisent aux résultats suivants :
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0,1
0,3
0,2
0,4
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1 0,1
2
0,4
3
0,6 et
4 1
p
p
p
p
P
P
P
P
=
=
=
=
=
=
=
=
On tire le nombre aléatoire ξ1 = 0,3 compris dans l’intervalle [0,1] :
( )
( )
( )
1
ˆ
ˆ
ˆ
1 0,1
0,3
2
0,4
2
P
P
P
=
< ξ =
≤
=
est donné
La probabilité cumulée ˆ (2)
P
étant choisie, on tire un second nombre aléatoire ξ2 et on prend l’expression relative à k = 2 de (6.18). Ainsi, on obtient
l’énergie du photon Compton diffusé comme suit :
( )
2
2
1
2
2
2
1
0,511
E
E
E
E
E
E
x
−ξ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
ξ
−
§
·
′ =
=
=
= +
¨
¸
β
Φ ξ
©
¹
Admettons que le tirage d’un second nombre aléatoire conduise au résultat
suivant ξ2 = 0,6, l’énergie du photon diffusé est finalement :
0,6
2 0,8
1
0,8 341 keV
0,511
E
−
γ
§
·
§
·
×
′ = +
×
=
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
On obtient la direction θ d’émission au moyen de l’expression reliant
l’énergie du photon incident au photon Compton du chapitre 2 :
(
)
2
1
1
1
1
cos
1
1 0,511
0,1402
0,341 0,8
cos 0,1402
82
e
m c
E
E
a
γ
γ
§
·
§
·
θ = −
−
= −
×
−
=
¨
¸
¨
¸
′
©
¹
©
¹
⇔ θ =
= °
Pour finir de caractériser la direction du photon Compton diffusé, reste à
déterminer l’azimut ϕ. Comme l’émission du photon Compton répond à une
symétrie de révolution, tous les angles compris entre 0 et 2π sont équiprobables ;
par conséquent, la probabilité d’avoir un angle compris entre ϕ et ϕ + dϕ est
donnée par (6.19).
( )
d
d
2
p
ϕ
ϕ ϕ = π
(6.19)
La densité de probabilité cumulée d’avoir un angle inférieur à ϕ est donnée
par (6.20).
( )
0
d
2
2
P
ϕ ϕ
ϕ
ϕ =
=
π
π
³
(6.20)
En fixant la valeur de la distribution à un troisième nombre aléatoire :
( ) 3
P ϕ = ξ il vient :
3
2
ϕ = πξ . Si ce tirage donne 0,1 par exemple, on obtient :
180
2 0,1
36
ϕ = π×
×
= °
π
.