132
Physique appliquée à l’exposition externe : dosimétrie et radioprotection
CI 2.7 : Démonstration de la relation de Bragg-Gray
Si les dimensions géométriques de la cavité gazeuse sont petites devant le
parcours des électrons secondaires mis en mouvement dans le milieu solide,
l’introduction de la cavité ne perturbe pas le spectre d’électrons présents
dans le solide. Si on considère maintenant un champ homogène d’électrons
secondaires mis en mouvement, à l’équilibre électronique, dans un milieu M
et que l’on creuse dans ce milieu une petite cavité remplie d’un gaz qui ne
perturbe pas le flux d’électrons secondaires, il s’agit de déterminer la relation liant la dose absorbée dans le milieu M et celle mesurée dans le gaz. On
considère un électron secondaire traversant deux volumes élémentaires de
géométrie équivalente ; déterminons quelles doivent être les dimensions respectives des deux volumes pour que l’énergie communiquée ε soit la même :
(dε)g = (dε)M
(1)
On défini
m
g
S comme étant le rapport des pouvoirs d’arrêts linéiques pour
les deux milieux :
(
)
(
)
M
M
g
g
d d
d d
E x
S
E x
=
Pour que l’égalité (1) soit respectée, il faut nécessairement que
M
g
g
M
x
S x
Δ =
Δ . En d’autres termes, le rapport des dimensions linéaires des
deux volumes est
M
g
S . De même, si V représente le volume du milieu considéré, les deux volumes sont reliés par la proportionnalité suivante :
( )
3
M
g
g
M
V
S
V
=
Comme l’énergie moyenne communiquée au volume est directement proportionnelle au nombre d’électrons qui entrent dans chacun des volumes, le
nombre de ceux qui entrent dans la cavité de gaz est plus important que
celui qui entrerait dans le volume du milieu solide M ; ce nombre est donc
proportionnel à la surface d’entrée. Ainsi, en considérant qu’à chaque collision les électrons déposent en moyenne la même énergie ε ; qu’ils soient
dans le gaz ou le milieu M, le nombre d’électrons qui entrent dans le volume
de la cavité de gaz est
M 2
g
( )
S
fois plus important que celui qui entre dans le
volume du milieu M, ainsi nous obtenons :
( )
( )
2
2
M
M
g
M
g
g
M
g
d
d
d
d
N
S
N
S
ε = ε
=
ε
=
ε
À partir de cette égalité peut être déduite l’énergie moyenne absorbée
par unité de volume :
( )
( )
2
M
M
g
3
M
M
g
g
M
g
M
d
d
1 d
d
d
d
S
V
V
S
S
V
ε
§
·
§
·
ε
ε
¨
¸ =
=
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
Physique appliquée à l’exposition externe : dosimétrie et radioprotection
CI 2.7 : Démonstration de la relation de Bragg-Gray
Si les dimensions géométriques de la cavité gazeuse sont petites devant le
parcours des électrons secondaires mis en mouvement dans le milieu solide,
l’introduction de la cavité ne perturbe pas le spectre d’électrons présents
dans le solide. Si on considère maintenant un champ homogène d’électrons
secondaires mis en mouvement, à l’équilibre électronique, dans un milieu M
et que l’on creuse dans ce milieu une petite cavité remplie d’un gaz qui ne
perturbe pas le flux d’électrons secondaires, il s’agit de déterminer la relation liant la dose absorbée dans le milieu M et celle mesurée dans le gaz. On
considère un électron secondaire traversant deux volumes élémentaires de
géométrie équivalente ; déterminons quelles doivent être les dimensions respectives des deux volumes pour que l’énergie communiquée ε soit la même :
(dε)g = (dε)M
(1)
On défini
m
g
S comme étant le rapport des pouvoirs d’arrêts linéiques pour
les deux milieux :
(
)
(
)
M
M
g
g
d d
d d
E x
S
E x
=
Pour que l’égalité (1) soit respectée, il faut nécessairement que
M
g
g
M
x
S x
Δ =
Δ . En d’autres termes, le rapport des dimensions linéaires des
deux volumes est
M
g
S . De même, si V représente le volume du milieu considéré, les deux volumes sont reliés par la proportionnalité suivante :
( )
3
M
g
g
M
V
S
V
=
Comme l’énergie moyenne communiquée au volume est directement proportionnelle au nombre d’électrons qui entrent dans chacun des volumes, le
nombre de ceux qui entrent dans la cavité de gaz est plus important que
celui qui entrerait dans le volume du milieu solide M ; ce nombre est donc
proportionnel à la surface d’entrée. Ainsi, en considérant qu’à chaque collision les électrons déposent en moyenne la même énergie ε ; qu’ils soient
dans le gaz ou le milieu M, le nombre d’électrons qui entrent dans le volume
de la cavité de gaz est
M 2
g
( )
S
fois plus important que celui qui entre dans le
volume du milieu M, ainsi nous obtenons :
( )
( )
2
2
M
M
g
M
g
g
M
g
d
d
d
d
N
S
N
S
ε = ε
=
ε
=
ε
À partir de cette égalité peut être déduite l’énergie moyenne absorbée
par unité de volume :
( )
( )
2
M
M
g
3
M
M
g
g
M
g
M
d
d
1 d
d
d
d
S
V
V
S
S
V
ε
§
·
§
·
ε
ε
¨
¸ =
=
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹