Travail, puissance, énergie
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Solution
y
u
→
a
b
h o
h 1
A
B
C
x
u
→
n
R
→
P
→
f
→
P
→
n
R
→
f
→
Figure 4.17
1) Lorsque les frottements sont suffisants pour maintenir la masse en équilibre on a :
Solide en équilibre :
f
R n
< m;
2) Bilan des forces agissant sur la masse m
• Le poids
− →
P = m − → g = mg(sin a − → u x + cos a − → u y )
• La réaction normale
− →
R n = R n
− → u y
• Les frottements solide :
− →
f = −f − → u x et la masse glisse : alors f = mR n
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
f +
− →
R n = − → a
et en projetant :
a) Sur − → u y : R n = mg cos a. Sur − → u x : mg sin a−f = m¨ x et avec f = mR n = mmg cos a
On a : m¨ x = mg sin a − mmg cos a = mg sin a
1 −
m
tan a
¨ x = g sin a
1 −
tan w
tan a
= g sin a − g cos a tan w
b) On obtient : ˙ x = ¨ xt (à t = 0 la vitesse est nulle) et x =
1
2
¨ xt
2 (à t = 0, x = 0)
La masse est en B à l’instant t B correspondant à x B =
h o
sin a
:
t B =
2x B
¨ x
=
2h
¨ x sin a
.
On en déduit la vitesse en B : V B = ¨ xt B =
2h o ¨ x
sin a
=
2h o g
1 −
tan w
tan a
c) Il y a mouvement si l’accélération existe et est positive soit :
¨ x 0 ⇒ tan w tan a
il faut donc a w