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Mécanique du point
II. Chute libre
1) Donner l’expression du vecteur vitesse
− →
V o au point O dans la base ( − → u x , − → u z ).
2) Faire l’étude, dans le repère (O, x, z), de la masse m en chute libre (on néglige tout
frottement). En déduire l’équation de la trajectoire z = f (x) et faire l’application numérique avec V o = 10 m.s
−1
3) En déduire si le skieur retombe de l’autre côté du fossé ou pas ?
Solution
I. Descente sur l’arc AO
1) Le poids
− →
P = m − → g = −mg − → u x
La réaction du sol : pas de frottement donc la réaction est normale :
− →
N = N − → u x .
Le système est conservatif (pas de frottement et le poids force conservative). On a alors
conservation de l’énergie mécanique :
E m = constante.
2) z = R − R cos u = R(1 − cos u)
E p (A) − E p (O) = mg(z A − z o ). donc :
E p (A) = mgz A = mgR(1 − cos a) =12 000 J
3) E m (A) = E p (A) + E c (A) = E p (A) = mgR(1 − cos a)
E m (O) = E p (O) + E c (O) = E c (O) =
1
2
mgV
2
o
E m (A) = E m (O) ⇒ mgR(1 − cos a) =
1
2
mV
2
o ⇒ V o =
2gR(1 − cos a) = 20 m.s
−1 .
4) a) W AO =
O
A
− →
f .d
− →
l =
O
A
−fdl = −f
O
A
dl = −f
L AO = −fRa = −fR
p
3
(la force de frottement s’oppose au déplacement et garde un module constant)
b) Théorème de l’énergie mécanique : la variation d’énergie mécanique entre 2 positions est égale au travail des forces non conservatives entre ces 2 positions :
DE m = E m (O) − E m (A) = W AO ⇒
1
2
mV
2
of − mgR(1 − cos a) = −fRa
c) f =
m
2aR
(2gR(1 − cos a) − V
2
o ) =
2 700
4p
= 214,86 N
d) f = 214, 9 N
II. Chute libre
1)
− →
V o = V o
− → u x
2) La masse m n’est soumis alors qu’à son poids (chute libre). En appliquant le principe
fondamental de la dynamique :
− →
P = −mg − → u z = m − → a ⇒ − → a = −g − → u z ⇒ ¨ z = −g