590 Chapitre 22
Circuit mobile dans un champ stationnaire
La bobine, de résistance R et d’inductance propre L, est reliée à la sortie d’un amplificateur audio
modélisé par une source qui impose une tension u(t). L’intensité du courant circulant dans la
bobine est notée i(t), conformément au schéma de la figure 22.5.
Quel est le principe de fonctionnement de ce haut-parleur ?
La bobine étant parcourue par un courant i(t) et plongée dans un champ
#»
B e stationnaire, elle
est soumise à des forces de Laplace qui la mettent en mouvement. Les oscillations de la membrane engendrent une onde acoustique dans l’air. La bobine se déplace dans un champ magnétique
stationnaire et est donc le siège d’un phénomène d’induction.
Comment mettre en équation ce système ?
On étudie le système rigide bobine + membrane dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Ce système est soumis :
• à son poids et aux forces de liaison de la bobine par rapport à l’aimant, qui n’ont pas de
composante suivant l’axe (Oz) ;
• à la force de rappel du ressort
#»
T = −k( − 0 ) #» u z = −kz #» u z (z = 0 correspond à la position
d’équilibre de la bobine en l’absence de tension u(t)) ;
• à la force de frottement qu’exerce l’air sur la membrane que l’on modélise par une force de
frottement fluide
#»
f = −α #» v ;
• à la force résultante des forces de Laplace qui s’exercent sur la bobine :
#»
F La =
i
#»
d ∧
# »
B e
avec
#»
d = d #» u θ et
#»
B e = B e
#» u r , soit
#»
F La =
−idB e
#» u z = −Ni2πaB e
# »
u z en notant a le
rayon d’une spire.
La loi de la quantité de mouvement projetée sur l’axe (Oz) conduit à l’équation mécanique suivante :
(22.5)
m
dv
dt
= −kz − αv − 2πN iaB e
Pour obtenir la force électromotrice d’induction e, on utilise l’équation de couplage électromécanique obtenue dans la partie précédente : P e + P La = 0 avec P e = ei et P La =
#»
F La · #» v ou
encore P La = −Ni2πaB e v, ce qui permet d’obtenir e(t) = 2πN aB e v. La loi des mailles conduit à
l’équation électrique :
(22.6)
u(t) = Ri + L
di
dt
− 2πN aB e v
On obtient alors un système d’équations couplées (équations 22.5 et 22.6) faisant intervenir des
grandeurs électriques et mécaniques.
Comment découpler ces équations ?
Les équations différentielles obtenues étant linéaires, on cherche à résoudre ces équations pour
une tension u(t) sinusoïdale, de pulsation ω, en utilisant la notation complexe (régime sinusoïdal).
L’impédance du haut-parleur en fonctionnement est Z =
U
I
et le déplacement de la bobine est
relié à la vitesse v de cette dernière par z =
v
jω
. Les deux équations couplées deviennent :
α + jmω +
k
jω
v + 2πN aB e I = 0
(R + jLω) I − 2πN aB e v = U
partagelivrescpge.blogspot.com
Circuit mobile dans un champ stationnaire
La bobine, de résistance R et d’inductance propre L, est reliée à la sortie d’un amplificateur audio
modélisé par une source qui impose une tension u(t). L’intensité du courant circulant dans la
bobine est notée i(t), conformément au schéma de la figure 22.5.
Quel est le principe de fonctionnement de ce haut-parleur ?
La bobine étant parcourue par un courant i(t) et plongée dans un champ
#»
B e stationnaire, elle
est soumise à des forces de Laplace qui la mettent en mouvement. Les oscillations de la membrane engendrent une onde acoustique dans l’air. La bobine se déplace dans un champ magnétique
stationnaire et est donc le siège d’un phénomène d’induction.
Comment mettre en équation ce système ?
On étudie le système rigide bobine + membrane dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Ce système est soumis :
• à son poids et aux forces de liaison de la bobine par rapport à l’aimant, qui n’ont pas de
composante suivant l’axe (Oz) ;
• à la force de rappel du ressort
#»
T = −k( − 0 ) #» u z = −kz #» u z (z = 0 correspond à la position
d’équilibre de la bobine en l’absence de tension u(t)) ;
• à la force de frottement qu’exerce l’air sur la membrane que l’on modélise par une force de
frottement fluide
#»
f = −α #» v ;
• à la force résultante des forces de Laplace qui s’exercent sur la bobine :
#»
F La =
i
#»
d ∧
# »
B e
avec
#»
d = d #» u θ et
#»
B e = B e
#» u r , soit
#»
F La =
−idB e
#» u z = −Ni2πaB e
# »
u z en notant a le
rayon d’une spire.
La loi de la quantité de mouvement projetée sur l’axe (Oz) conduit à l’équation mécanique suivante :
(22.5)
m
dv
dt
= −kz − αv − 2πN iaB e
Pour obtenir la force électromotrice d’induction e, on utilise l’équation de couplage électromécanique obtenue dans la partie précédente : P e + P La = 0 avec P e = ei et P La =
#»
F La · #» v ou
encore P La = −Ni2πaB e v, ce qui permet d’obtenir e(t) = 2πN aB e v. La loi des mailles conduit à
l’équation électrique :
(22.6)
u(t) = Ri + L
di
dt
− 2πN aB e v
On obtient alors un système d’équations couplées (équations 22.5 et 22.6) faisant intervenir des
grandeurs électriques et mécaniques.
Comment découpler ces équations ?
Les équations différentielles obtenues étant linéaires, on cherche à résoudre ces équations pour
une tension u(t) sinusoïdale, de pulsation ω, en utilisant la notation complexe (régime sinusoïdal).
L’impédance du haut-parleur en fonctionnement est Z =
U
I
et le déplacement de la bobine est
relié à la vitesse v de cette dernière par z =
v
jω
. Les deux équations couplées deviennent :
α + jmω +
k
jω
v + 2πN aB e I = 0
(R + jLω) I − 2πN aB e v = U
partagelivrescpge.blogspot.com