L’essentiel du cours 587
• Multiplier l’équation électrique par l’intensité du courant i pour établir un bilan de
puissance électrique.
• Multiplier scalairement l’équation mécanique par #» v si elle est issue de la loi de la
quantité de mouvement ou par #»
ω si elle provient de la loi du moment cinétique, afin
de faire apparaître un bilan de puissance mécanique.
• Combiner ces deux équations en remarquant que la somme de la puissance de la force
électromotrice d’induction et de la puissance des forces de Laplace est nulle (couplage
électromécanique).
Méthode 22.2 : Effectuer un bilan de puissance
Exercice (22.2)
En appliquant cette méthode, les deux équations électrique et mécanique deviennent :
(22.3)
ei = Ri
2 + Li
di
dt
⇒ NiωB e S sin(ωt) = Ri
2 +
d
dt
1
2
Li
2
et
(22.4)
J z ω
dω
dt
= −NSiB e ω sin(ωt) + Γ mo ω ⇒
d
dt
1
2
J z ω
2
= −NSiB e ω sin(ωt) + Γ mo ω
On remarque que la puissance de la force électromotrice induite P e = ei = N SiωB e sin(ωt) et la
puissance des forces de Laplace P La = −NSiB e ω(sin ωt) sont opposées.
Lorsque le couplage est réalisé en présence d’un champ magnétique extérieur indépendant du
temps, il vient :
P e + P La = 0
Équation de couplage électromécanique
En sommant les deux équations 22.3 et 22.4 on obtient le bilan de puissance suivant :
Γ mo ω =
d
dt
1
2
J z ω
2
+ Ri
2 +
d
dt
1
2
Li
2
La puissance mécanique délivrée par le moteur Γ mo ω est donc à la fois convertie en énergie cinétique
pour le cadre et en énergie magnétique stockée dans la bobine, le reste étant dissipé par effet Joule
dans la résistance R.
En régime sinusoïdal forcé, l’intégration de ce bilan de puissance sur une période T =
2π
ω
donne
le bilan d’énergie :
T
0
Γ mo ω dt =
T
0
Ri
2 dt
En régime sinusoïdal forcé, l’énergie moyenne fournie par le moteur est intégralement dissipée
dans la résistance de charge : nous obtenons une conversion de puissance mécanique en puissance
électrique avec un rendement égal à 1. En pratique, le rendement obtenu est toujours inférieur à 1
à cause des frottements mécaniques et de la résistance électrique de la bobine, négligés dans notre
modèle.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
• Multiplier l’équation électrique par l’intensité du courant i pour établir un bilan de
puissance électrique.
• Multiplier scalairement l’équation mécanique par #» v si elle est issue de la loi de la
quantité de mouvement ou par #»
ω si elle provient de la loi du moment cinétique, afin
de faire apparaître un bilan de puissance mécanique.
• Combiner ces deux équations en remarquant que la somme de la puissance de la force
électromotrice d’induction et de la puissance des forces de Laplace est nulle (couplage
électromécanique).
Méthode 22.2 : Effectuer un bilan de puissance
Exercice (22.2)
En appliquant cette méthode, les deux équations électrique et mécanique deviennent :
(22.3)
ei = Ri
2 + Li
di
dt
⇒ NiωB e S sin(ωt) = Ri
2 +
d
dt
1
2
Li
2
et
(22.4)
J z ω
dω
dt
= −NSiB e ω sin(ωt) + Γ mo ω ⇒
d
dt
1
2
J z ω
2
= −NSiB e ω sin(ωt) + Γ mo ω
On remarque que la puissance de la force électromotrice induite P e = ei = N SiωB e sin(ωt) et la
puissance des forces de Laplace P La = −NSiB e ω(sin ωt) sont opposées.
Lorsque le couplage est réalisé en présence d’un champ magnétique extérieur indépendant du
temps, il vient :
P e + P La = 0
Équation de couplage électromécanique
En sommant les deux équations 22.3 et 22.4 on obtient le bilan de puissance suivant :
Γ mo ω =
d
dt
1
2
J z ω
2
+ Ri
2 +
d
dt
1
2
Li
2
La puissance mécanique délivrée par le moteur Γ mo ω est donc à la fois convertie en énergie cinétique
pour le cadre et en énergie magnétique stockée dans la bobine, le reste étant dissipé par effet Joule
dans la résistance R.
En régime sinusoïdal forcé, l’intégration de ce bilan de puissance sur une période T =
2π
ω
donne
le bilan d’énergie :
T
0
Γ mo ω dt =
T
0
Ri
2 dt
En régime sinusoïdal forcé, l’énergie moyenne fournie par le moteur est intégralement dissipée
dans la résistance de charge : nous obtenons une conversion de puissance mécanique en puissance
électrique avec un rendement égal à 1. En pratique, le rendement obtenu est toujours inférieur à 1
à cause des frottements mécaniques et de la résistance électrique de la bobine, négligés dans notre
modèle.
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