568 Chapitre 21
Circuit fixe dans un champ variable
En reportant la seconde équation dans la première, on peut exprimer l’amplitude complexe de la
tension U e en fonction du courant I 1 et ainsi définir une impédance équivalente Z eq pour l’ensemble
du circuit vu par la source de tension :
U e =
R 1 + jL 1 ω −
(jM ω)
2
R 2 + jL 2 ω
I 1 soit Z eq = R 1 + jL 1 ω +
(Mω)
2
R 2 + jL 2 ω
Lorsque le couplage diminue, M diminue et l’impédance équivalente tend vers l’impédance du circuit primaire.
De l’énergie est-elle transférée sans « contact » au circuit secondaire ?
Les équations 21.1 et 21.2 sont multipliées respectivement par i 1 et i 2 pour obtenir un bilan de
puissance instantanée :
u e i 1 = R 1 i
2
1 + L 1 i 1
di 1
dt
+ Mi 1
di 2
dt
0 = R 2 i
2
2 + L 2 i 2
di 2
dt
+ Mi 2
di 1
dt
En sommant membre à membre ces deux équations, on obtient :
u e i 1 = R 1 i
2
1 + R 2 i
2
2 +
d
dt
1
2
L 1 i
2
1 +
1
2
L 2 i
2
2 + Mi 1 i 2
Cette équation exprime un bilan de puissance instantanée :
• u e i 1 est la puissance instantanée fournie par le générateur.
• R 1 i
2
1 et R 2 i
2
2 sont les puissances dissipées par effet Joule dans les circuits primaire et secondaire.
•
d
dt
1
2
L 1 i
2
1 +
1
2
L 2 i
2
2 + Mi 1 i 2
est la puissance magnétique reçue par le circuit. On déduit
de cette expression l’énergie magnétique stockée dans les circuits couplés :
E mag =
1
2
L 1 i
2
1 +
1
2
L 2 i
2
2 + Mi 1 i 2
En considérant une tension u e (t) sinusoïdale de période T et en intégrant le bilan de puissance sur
une période T on obtient le bilan d’énergie suivant :
t0+T
t0
u e i 1 dt =
t0+T
t0
R 1 i
2
1 dt +
t0+T
t0
R 2 i
2
2 dt +
t0+T
t0
d
dt
1
2
L 1 i
2
1 +
1
2
L 2 i
2
2 + Mi 1 i 2
dt
i 1 (t) et i 2 (t) étant périodiques de période T , la dernière intégrale est nulle. Il vient donc :
t0+T
t0
u e i 1 dt =
t0+T
t0
R 1 i
2
1 dt +
t0+T
t0
R 2 i
2
2 dt
L’énergie fournie par le générateur sur une période est donc dissipée par effet Joule dans la résistance R 1 et dans la résistance R 2 . La part de l’énergie fournie par le générateur qui n’est pas
dissipée dans R 1 est donc transférée au circuit secondaire où elle est consommée dans R 2 : il y a
bien transfert d’énergie sans contact entre le circuit primaire et le circuit secondaire.
partagelivrescpge.blogspot.com
Circuit fixe dans un champ variable
En reportant la seconde équation dans la première, on peut exprimer l’amplitude complexe de la
tension U e en fonction du courant I 1 et ainsi définir une impédance équivalente Z eq pour l’ensemble
du circuit vu par la source de tension :
U e =
R 1 + jL 1 ω −
(jM ω)
2
R 2 + jL 2 ω
I 1 soit Z eq = R 1 + jL 1 ω +
(Mω)
2
R 2 + jL 2 ω
Lorsque le couplage diminue, M diminue et l’impédance équivalente tend vers l’impédance du circuit primaire.
De l’énergie est-elle transférée sans « contact » au circuit secondaire ?
Les équations 21.1 et 21.2 sont multipliées respectivement par i 1 et i 2 pour obtenir un bilan de
puissance instantanée :
u e i 1 = R 1 i
2
1 + L 1 i 1
di 1
dt
+ Mi 1
di 2
dt
0 = R 2 i
2
2 + L 2 i 2
di 2
dt
+ Mi 2
di 1
dt
En sommant membre à membre ces deux équations, on obtient :
u e i 1 = R 1 i
2
1 + R 2 i
2
2 +
d
dt
1
2
L 1 i
2
1 +
1
2
L 2 i
2
2 + Mi 1 i 2
Cette équation exprime un bilan de puissance instantanée :
• u e i 1 est la puissance instantanée fournie par le générateur.
• R 1 i
2
1 et R 2 i
2
2 sont les puissances dissipées par effet Joule dans les circuits primaire et secondaire.
•
d
dt
1
2
L 1 i
2
1 +
1
2
L 2 i
2
2 + Mi 1 i 2
est la puissance magnétique reçue par le circuit. On déduit
de cette expression l’énergie magnétique stockée dans les circuits couplés :
E mag =
1
2
L 1 i
2
1 +
1
2
L 2 i
2
2 + Mi 1 i 2
En considérant une tension u e (t) sinusoïdale de période T et en intégrant le bilan de puissance sur
une période T on obtient le bilan d’énergie suivant :
t0+T
t0
u e i 1 dt =
t0+T
t0
R 1 i
2
1 dt +
t0+T
t0
R 2 i
2
2 dt +
t0+T
t0
d
dt
1
2
L 1 i
2
1 +
1
2
L 2 i
2
2 + Mi 1 i 2
dt
i 1 (t) et i 2 (t) étant périodiques de période T , la dernière intégrale est nulle. Il vient donc :
t0+T
t0
u e i 1 dt =
t0+T
t0
R 1 i
2
1 dt +
t0+T
t0
R 2 i
2
2 dt
L’énergie fournie par le générateur sur une période est donc dissipée par effet Joule dans la résistance R 1 et dans la résistance R 2 . La part de l’énergie fournie par le générateur qui n’est pas
dissipée dans R 1 est donc transférée au circuit secondaire où elle est consommée dans R 2 : il y a
bien transfert d’énergie sans contact entre le circuit primaire et le circuit secondaire.
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