518 Chapitre 19
Machines thermiques
On donne la constante des gaz parfaits R = 8,31 J · K
−1
· mol
−1 .
Exercice 19.5 Fluide en écoulement
Méthode (19.4)
Dans la plupart des machines utilisées de façon industrielle, on utilise un fluide en écoulement, qui
va traverser différents organes (compresseur, échangeur....) qui vont fournir à l’unité de masse de fluide
les traversant un travail massique dit « utile » w u et
un transfert thermique massique q. Ce fluide sera
susceptible de changer d’état au cours de son écoulement. On notera (1) la partie amont (fluide n’ayant
pas encore traversé la machine) et (2) la partie aval
(fluide sortant de la machine) de l’écoulement. Nous
introduirons ainsi la vitesse c i , l’énergie potentielle
massique e pi , le volume massique v i , l’énergie interne
massique u i , l’enthalpie massique h i , la pression P i ,
la surface S i (surface droite de la canalisation) avec
i = 1, 2 pour décrire l’état du fluide amont et aval.
Σ
Σ 1
Σ 2
On considère que cet écoulement est stationnaire : les grandeurs considérées sont toutes indépendantes du temps. On considère à l’instant t comme système fermé Σ∗ le fluide compris dans la
machine (Σ) et le fluide qui va entrer dans la machine entre t et t + dt (Σ 1 ). On notera m la masse
du fluide compris dans la machine.
1. Que devient ce système fermé à l’instant t + dt ? On notera Σ 2 le fluide qui est sorti de la
machine entre t et t + dt.
2. Quelle est la masse dm 1 du fluide compris dans Σ 1 ? Quelle est la masse dm 2 du fluide compris
dans Σ 2 ? On exprimera ces masses en fonction de c i , v i , S i et dt. Sachant que Σ∗ est un système
fermé, donner la relation existant entre dm 1 et dm 2 . On introduit le débit massique D m de
l’installation. Relier D m à dm 1 et dm 2 .
3. Exprimer les travaux élémentaires des forces de pression reçus par Σ∗ de la part du fluide amont
δW p,1 et aval δW p,2 , en fonction de S i , c i , P i et dt, puis en fonction de v i , D m , P i et dt, avec
i = 1, 2.
4. Exprimer le travail utile élémentaire δW u et le transfert thermique élémentaire δQ reçus par le
fluide traversant la machine pendant dt, en fonction de dt, D m , q, w u .
5. Déterminer la variation d’énergie cinétique dE c = E c (t + dt) − E c (t), d’énergie potentielle
dE p = E p (t + dt) − E p (t), d’énergie interne dU = U (t + dt) − U (t) de Σ∗ entre t et t + dt en
fonction de c i , D m , dt, e pi , u i (on considère que les grandeurs relatives à Σ sont constantes au
cours du temps).
6. Appliquer le premier principe à Σ∗ entre t et t + dt. En déduire après simplification la formule
suivante : h 2 − h 1 +
1
2
(c
2
2 − c
2
1 ) + e p2 − e p1 = w u + q.
7. Dans le cas d’une détente dite de Joule-Thomson, on considère que le fluide traverse un « obstacle » (paroi poreuse, rétrécissement, pointeau...), sans recevoir de travail utile et de façon
adiabatique. De plus, on néglige ses variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle (écoulement lent et horizontal). Déduire de l’étude précédente le caractère isenthalpique d’une telle
détente.
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Machines thermiques
On donne la constante des gaz parfaits R = 8,31 J · K
−1
· mol
−1 .
Exercice 19.5 Fluide en écoulement
Méthode (19.4)
Dans la plupart des machines utilisées de façon industrielle, on utilise un fluide en écoulement, qui
va traverser différents organes (compresseur, échangeur....) qui vont fournir à l’unité de masse de fluide
les traversant un travail massique dit « utile » w u et
un transfert thermique massique q. Ce fluide sera
susceptible de changer d’état au cours de son écoulement. On notera (1) la partie amont (fluide n’ayant
pas encore traversé la machine) et (2) la partie aval
(fluide sortant de la machine) de l’écoulement. Nous
introduirons ainsi la vitesse c i , l’énergie potentielle
massique e pi , le volume massique v i , l’énergie interne
massique u i , l’enthalpie massique h i , la pression P i ,
la surface S i (surface droite de la canalisation) avec
i = 1, 2 pour décrire l’état du fluide amont et aval.
Σ
Σ 1
Σ 2
On considère que cet écoulement est stationnaire : les grandeurs considérées sont toutes indépendantes du temps. On considère à l’instant t comme système fermé Σ∗ le fluide compris dans la
machine (Σ) et le fluide qui va entrer dans la machine entre t et t + dt (Σ 1 ). On notera m la masse
du fluide compris dans la machine.
1. Que devient ce système fermé à l’instant t + dt ? On notera Σ 2 le fluide qui est sorti de la
machine entre t et t + dt.
2. Quelle est la masse dm 1 du fluide compris dans Σ 1 ? Quelle est la masse dm 2 du fluide compris
dans Σ 2 ? On exprimera ces masses en fonction de c i , v i , S i et dt. Sachant que Σ∗ est un système
fermé, donner la relation existant entre dm 1 et dm 2 . On introduit le débit massique D m de
l’installation. Relier D m à dm 1 et dm 2 .
3. Exprimer les travaux élémentaires des forces de pression reçus par Σ∗ de la part du fluide amont
δW p,1 et aval δW p,2 , en fonction de S i , c i , P i et dt, puis en fonction de v i , D m , P i et dt, avec
i = 1, 2.
4. Exprimer le travail utile élémentaire δW u et le transfert thermique élémentaire δQ reçus par le
fluide traversant la machine pendant dt, en fonction de dt, D m , q, w u .
5. Déterminer la variation d’énergie cinétique dE c = E c (t + dt) − E c (t), d’énergie potentielle
dE p = E p (t + dt) − E p (t), d’énergie interne dU = U (t + dt) − U (t) de Σ∗ entre t et t + dt en
fonction de c i , D m , dt, e pi , u i (on considère que les grandeurs relatives à Σ sont constantes au
cours du temps).
6. Appliquer le premier principe à Σ∗ entre t et t + dt. En déduire après simplification la formule
suivante : h 2 − h 1 +
1
2
(c
2
2 − c
2
1 ) + e p2 − e p1 = w u + q.
7. Dans le cas d’une détente dite de Joule-Thomson, on considère que le fluide traverse un « obstacle » (paroi poreuse, rétrécissement, pointeau...), sans recevoir de travail utile et de façon
adiabatique. De plus, on néglige ses variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle (écoulement lent et horizontal). Déduire de l’étude précédente le caractère isenthalpique d’une telle
détente.
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