Exercices 463
Exercices
Exercice 17.1 À la poursuite du diamant jaune
Méthode (17.1)
Lancée depuis quelques mois à la poursuite de l’inestimable diamant jaune, l’aventurière Diana
Jones touche à son but : ce diamant se trouve dans une cache creusée dans la paroi d’un trou
vertical, au fond d’une galerie souterraine. Ce trou, rempli d’air, est surmonté d’un couvercle
rendant la cache inaccessible. À côté de ce trou se trouve un monticule de gravier, dont la masse
totale est M = 100 kg. Diana Jones, quand à elle, pèse avec tout son matériel exactement le même
poids que le tas de gravier.
Deux options s’offrent alors à elle : soit elle saute sur le couvercle, en
espérant que celui-ci va descendre suffisamment pour lui permettre de
récupérer le trésor (option 1), soit elle ajoute sur le couvercle de façon
régulière et en petites quantités le gravier (option 2). Les caractéristiques
du trou sont les suivantes : sa section est S = 0,0630 m
2 , la hauteur
initiale du couvercle par rapport au fond du trou est h 0 = 100 m. La
température initiale de l’air enfermé dans le trou est T 0 = 293 K, et la
pression de l’air surmontant le couvercle est P 0 = 1,00 bar. La cache se
trouve à une hauteur h 1 = 90,2 m du fond du trou. On supposera que la
terre et le couvercle sont imperméables aux transferts thermiques, et que
le mouvement du couvercle est vertical et sans frottements. On néglige
aussi la masse de ce couvercle. On admettra qu’au cours d’une transformation adiabatique très lente, au cours de laquelle l’équilibre mécanique
du système avec l’extérieur est réalisé, un gaz parfait obéit à la loi de
Laplace : P V
γ = constante, γ coefficient adiabatique de l’air.
P 0
h 0
1. Quelle est, en moles, la quantité d’air enfermée dans ce cylindre ?
2. Étude de l’option 1.
a. Qualifier le plus précisément possible l’évolution subie par l’air dans le cas de l’option 1.
b. En notant h f 1 la hauteur finale atteinte par le couvercle, déterminer le travail reçu par l’air
intérieur au cours de cette transformation.
c. En utilisant le premier principe et la loi des gaz parfaits, déterminer la hauteur finale h f 1
atteinte par le couvercle, en fonction de M , P 0 , g, S, h 0 et γ. Calculer sa valeur numérique.
3. Étude de l’option 2.
a. Qualifier le plus précisément possible l’évolution subie par l’air dans le cas de l’option 2.
b. Déterminer la hauteur finale h f 2 atteinte par le couvercle, en fonction de M , P 0 , g, S, h 0
et γ. Calculer sa valeur numérique.
4. Tracer les courbes h f 1 et h f 2 en fonction de M et conclure sur l’influence de cette dernière.
5. Que conseillez-vous à Diana ?
Le coefficient adiabatique de l’air considéré comme un gaz parfait est γ =
C P m
C V m
= 1,40 et on
donne la constante des gaz parfaits, R = 8,31 J · K
−1
· mol
−1 , et l’accélération de la pesanteur,
g = 9,80 m · s
−1 .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
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Exercice 17.1 À la poursuite du diamant jaune
Méthode (17.1)
Lancée depuis quelques mois à la poursuite de l’inestimable diamant jaune, l’aventurière Diana
Jones touche à son but : ce diamant se trouve dans une cache creusée dans la paroi d’un trou
vertical, au fond d’une galerie souterraine. Ce trou, rempli d’air, est surmonté d’un couvercle
rendant la cache inaccessible. À côté de ce trou se trouve un monticule de gravier, dont la masse
totale est M = 100 kg. Diana Jones, quand à elle, pèse avec tout son matériel exactement le même
poids que le tas de gravier.
Deux options s’offrent alors à elle : soit elle saute sur le couvercle, en
espérant que celui-ci va descendre suffisamment pour lui permettre de
récupérer le trésor (option 1), soit elle ajoute sur le couvercle de façon
régulière et en petites quantités le gravier (option 2). Les caractéristiques
du trou sont les suivantes : sa section est S = 0,0630 m
2 , la hauteur
initiale du couvercle par rapport au fond du trou est h 0 = 100 m. La
température initiale de l’air enfermé dans le trou est T 0 = 293 K, et la
pression de l’air surmontant le couvercle est P 0 = 1,00 bar. La cache se
trouve à une hauteur h 1 = 90,2 m du fond du trou. On supposera que la
terre et le couvercle sont imperméables aux transferts thermiques, et que
le mouvement du couvercle est vertical et sans frottements. On néglige
aussi la masse de ce couvercle. On admettra qu’au cours d’une transformation adiabatique très lente, au cours de laquelle l’équilibre mécanique
du système avec l’extérieur est réalisé, un gaz parfait obéit à la loi de
Laplace : P V
γ = constante, γ coefficient adiabatique de l’air.
P 0
h 0
1. Quelle est, en moles, la quantité d’air enfermée dans ce cylindre ?
2. Étude de l’option 1.
a. Qualifier le plus précisément possible l’évolution subie par l’air dans le cas de l’option 1.
b. En notant h f 1 la hauteur finale atteinte par le couvercle, déterminer le travail reçu par l’air
intérieur au cours de cette transformation.
c. En utilisant le premier principe et la loi des gaz parfaits, déterminer la hauteur finale h f 1
atteinte par le couvercle, en fonction de M , P 0 , g, S, h 0 et γ. Calculer sa valeur numérique.
3. Étude de l’option 2.
a. Qualifier le plus précisément possible l’évolution subie par l’air dans le cas de l’option 2.
b. Déterminer la hauteur finale h f 2 atteinte par le couvercle, en fonction de M , P 0 , g, S, h 0
et γ. Calculer sa valeur numérique.
4. Tracer les courbes h f 1 et h f 2 en fonction de M et conclure sur l’influence de cette dernière.
5. Que conseillez-vous à Diana ?
Le coefficient adiabatique de l’air considéré comme un gaz parfait est γ =
C P m
C V m
= 1,40 et on
donne la constante des gaz parfaits, R = 8,31 J · K
−1
· mol
−1 , et l’accélération de la pesanteur,
g = 9,80 m · s
−1 .
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