Exercices 413
Exercices
Exercice 15.1 Armageddon
Méthode (15.1)
Un astéroïde de masse m = 1,0 · 10
18 kg s’approche dangereusement de la Terre. Il possède une
vitesse v 0 = 10 km · s
−1 dans le référentiel géocentrique (R g ) supposé galiléen avec un paramètre
d’impact b = 8,0 · 10
3 km défini sur la figure. À cet instant, l’attraction terrestre peut encore être
négligée.
La Terre est supposée sphérique, de
centre O, de rayon R T = 6,4 · 10
3 km
et de masse M T = 6,0 · 10
24 kg. Nous
assimilerons l’astéroïde à un point
matériel M pour étudier son mouvement.
b
#» v 0
•
O
La constante de gravitation vaut G = 6,67 · 10
−11 m
3
· kg
−1
· s
−2 .
1. Montrer que le moment cinétique par rapport à O de l’astéroïde se conserve. Quelle(s) conséquence(s) tirer de cette conservation ? Calculer la constante des aires C exprimée en coordonnées
polaires par C = r
2 ˙
θ.
2. Définir l’énergie potentielle effective E p,e de l’astéroïde puis tracer son allure en fonction de r,
distance de l’astéroïde au centre de la Terre.
3. Calculer l’énergie mécanique de l’astéroïde. S’agit-il d’un état de diffusion ou d’un état lié ?
4. Déduire de l’expression de E p,e la distance minimale d’approche de l’astéroïde par rapport à la
Terre. Conclure.
Exercice 15.2 Grandeur et décadence d’un satellite
Méthode (15.2)
Les satellites de télécommunication, en orbite géostationnaire, sont transférés sur une orbite dite
de rebut (parfois appelée orbite-poubelle) lorsqu’ils sont en fin de vie active.
•
•
•
O
P
A
h
Nous étudions le changement d’orbite d’un satellite de masse
m = 3,500 · 10
3 kg depuis son orbite géostationnaire circulaire
de rayon R g jusqu’à son orbite de rebut circulaire de rayon R r
supérieure à R g de h = 3,0 · 10
2 km.
Données sur la Terre supposée sphérique de centre O :
Rayon R T = 6371 km, masse M T = 5,972 · 10
24 kg, jour sidéral
T = 23 h 56 min.
La constante de gravitation est :
G = 6,674 · 10
−11 m
3
· kg
−1
· s
−2 .
1. Calculer le rayon R g de l’orbite du satellite géostationnaire et justifier sa localisation dans le
plan équatorial de la Terre.
2. Calculer alors la vitesse v g du satellite.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Exercice 15.1 Armageddon
Méthode (15.1)
Un astéroïde de masse m = 1,0 · 10
18 kg s’approche dangereusement de la Terre. Il possède une
vitesse v 0 = 10 km · s
−1 dans le référentiel géocentrique (R g ) supposé galiléen avec un paramètre
d’impact b = 8,0 · 10
3 km défini sur la figure. À cet instant, l’attraction terrestre peut encore être
négligée.
La Terre est supposée sphérique, de
centre O, de rayon R T = 6,4 · 10
3 km
et de masse M T = 6,0 · 10
24 kg. Nous
assimilerons l’astéroïde à un point
matériel M pour étudier son mouvement.
b
#» v 0
•
O
La constante de gravitation vaut G = 6,67 · 10
−11 m
3
· kg
−1
· s
−2 .
1. Montrer que le moment cinétique par rapport à O de l’astéroïde se conserve. Quelle(s) conséquence(s) tirer de cette conservation ? Calculer la constante des aires C exprimée en coordonnées
polaires par C = r
2 ˙
θ.
2. Définir l’énergie potentielle effective E p,e de l’astéroïde puis tracer son allure en fonction de r,
distance de l’astéroïde au centre de la Terre.
3. Calculer l’énergie mécanique de l’astéroïde. S’agit-il d’un état de diffusion ou d’un état lié ?
4. Déduire de l’expression de E p,e la distance minimale d’approche de l’astéroïde par rapport à la
Terre. Conclure.
Exercice 15.2 Grandeur et décadence d’un satellite
Méthode (15.2)
Les satellites de télécommunication, en orbite géostationnaire, sont transférés sur une orbite dite
de rebut (parfois appelée orbite-poubelle) lorsqu’ils sont en fin de vie active.
•
•
•
O
P
A
h
Nous étudions le changement d’orbite d’un satellite de masse
m = 3,500 · 10
3 kg depuis son orbite géostationnaire circulaire
de rayon R g jusqu’à son orbite de rebut circulaire de rayon R r
supérieure à R g de h = 3,0 · 10
2 km.
Données sur la Terre supposée sphérique de centre O :
Rayon R T = 6371 km, masse M T = 5,972 · 10
24 kg, jour sidéral
T = 23 h 56 min.
La constante de gravitation est :
G = 6,674 · 10
−11 m
3
· kg
−1
· s
−2 .
1. Calculer le rayon R g de l’orbite du satellite géostationnaire et justifier sa localisation dans le
plan équatorial de la Terre.
2. Calculer alors la vitesse v g du satellite.
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