314 Chapitre 12
Approche énergétique
Le travail d’une force
#»
F appliquée à un point matériel M qui se déplace, dans le référentiel R,
de la position M 1 à l’instant t 1 à la position M 2 à l’instant t 2 , est défini par :
W (
#»
F ) M1→M2 =
t2
t1
Pdt =
M2
M1
#»
F ·
#»
dl
Il s’exprime en joule.
Définition : Travail d’une force entre deux points
Nous rencontrerons dans la suite deux cas particuliers à connaître.
• Cas d’un point matériel M soumis à plusieurs forces
#»
F i dont la résultante est
#»
F =
i
#»
F i . On montre que :
i W (
#»
F i ) = W (
#»
F ).
• Cas d’un solide en translation soumis en différents points M i à des forces extérieures
#»
F ext,i dont la résultante est
#»
F ext . Les points d’un tel solide sont animés d’une même vitesse.
Dans ces conditions, on montre que :
i W (
#»
F ext,i ) = W (
#»
F ext ).
Un travail entre deux points dépend-il du chemin suivi entre ces points ?
Pour répondre à cette question considérons un point matériel M de masse m se déplaçant, dans le
référentiel R, d’un point M 1 à un point M 2 , le long d’un chemin quelconque de longueur L.
Cas du poids
Dans un repère cartésien de R :
#»
dl = dx #» u x + dy #» u y + dz #» u z .
Par ailleurs, en prenant l’axe (Oz) vertical ascendant :
#»
P = −mg #» u z .
D’où : W (
#»
P ) M1→M2 =
M2
M1
#»
P ·
#»
dl =
M2
M1
−mgdz = −mg(z 2 − z 1 ).
Ainsi dans le cas du poids, le travail ne dépend pas du chemin suivi
entre M 1 et M 2 .
z
#» g
• M 1
• M 2
z 1
z 2
O
Cas d’une force de frottement fluide
Supposons que le point matériel se déplace de M 1 à M 2 avec un vecteur vitesse #» v de module v
constant et qu’il soit soumis à une force de frottement fluide
#»
F = −h #» v . Notons #» u t le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement. Alors :
#»
F = −hv #» u t et
#»
dl = dl #» u t .
Donc : W (
#»
F ) M1→M2 =
M2
M1
−hv #» u t · dl #» u t =
M2
M1
−hvdl = −hv
M2
M1
dl = −hvL. Ainsi dans le cas
de la force de frottement fluide le travail dépend du chemin suivi entre M 1 et M 2 .
Nous en concluons que pour certaines forces le travail entre deux points ne dépend pas
du chemin suivi alors que pour d’autres il en dépend.
• L’énergie cinétique d’un point matériel M de masse m, animé d’une vitesse #» v dans le
référentiel R, est définie par : E c =
1
2
mv
2 .
• L’énergie cinétique d’un solide de masse m, en translation dans le référentiel R, est
définie par : E c =
1
2
mv
2
G où #» v G est la vitesse du centre de masse G du solide.
Une énergie cinétique E c s’exprime en joule.
Définition : Énergie cinétique d’un point matériel ou d’un solide en translation
Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, autre cas au programme
traité au chapitre 14, l’expression de l’énergie cinétique est différente.
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Approche énergétique
Le travail d’une force
#»
F appliquée à un point matériel M qui se déplace, dans le référentiel R,
de la position M 1 à l’instant t 1 à la position M 2 à l’instant t 2 , est défini par :
W (
#»
F ) M1→M2 =
t2
t1
Pdt =
M2
M1
#»
F ·
#»
dl
Il s’exprime en joule.
Définition : Travail d’une force entre deux points
Nous rencontrerons dans la suite deux cas particuliers à connaître.
• Cas d’un point matériel M soumis à plusieurs forces
#»
F i dont la résultante est
#»
F =
i
#»
F i . On montre que :
i W (
#»
F i ) = W (
#»
F ).
• Cas d’un solide en translation soumis en différents points M i à des forces extérieures
#»
F ext,i dont la résultante est
#»
F ext . Les points d’un tel solide sont animés d’une même vitesse.
Dans ces conditions, on montre que :
i W (
#»
F ext,i ) = W (
#»
F ext ).
Un travail entre deux points dépend-il du chemin suivi entre ces points ?
Pour répondre à cette question considérons un point matériel M de masse m se déplaçant, dans le
référentiel R, d’un point M 1 à un point M 2 , le long d’un chemin quelconque de longueur L.
Cas du poids
Dans un repère cartésien de R :
#»
dl = dx #» u x + dy #» u y + dz #» u z .
Par ailleurs, en prenant l’axe (Oz) vertical ascendant :
#»
P = −mg #» u z .
D’où : W (
#»
P ) M1→M2 =
M2
M1
#»
P ·
#»
dl =
M2
M1
−mgdz = −mg(z 2 − z 1 ).
Ainsi dans le cas du poids, le travail ne dépend pas du chemin suivi
entre M 1 et M 2 .
z
#» g
• M 1
• M 2
z 1
z 2
O
Cas d’une force de frottement fluide
Supposons que le point matériel se déplace de M 1 à M 2 avec un vecteur vitesse #» v de module v
constant et qu’il soit soumis à une force de frottement fluide
#»
F = −h #» v . Notons #» u t le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement. Alors :
#»
F = −hv #» u t et
#»
dl = dl #» u t .
Donc : W (
#»
F ) M1→M2 =
M2
M1
−hv #» u t · dl #» u t =
M2
M1
−hvdl = −hv
M2
M1
dl = −hvL. Ainsi dans le cas
de la force de frottement fluide le travail dépend du chemin suivi entre M 1 et M 2 .
Nous en concluons que pour certaines forces le travail entre deux points ne dépend pas
du chemin suivi alors que pour d’autres il en dépend.
• L’énergie cinétique d’un point matériel M de masse m, animé d’une vitesse #» v dans le
référentiel R, est définie par : E c =
1
2
mv
2 .
• L’énergie cinétique d’un solide de masse m, en translation dans le référentiel R, est
définie par : E c =
1
2
mv
2
G où #» v G est la vitesse du centre de masse G du solide.
Une énergie cinétique E c s’exprime en joule.
Définition : Énergie cinétique d’un point matériel ou d’un solide en translation
Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, autre cas au programme
traité au chapitre 14, l’expression de l’énergie cinétique est différente.
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