Corrections 311
Compte tenu des conditions initiales, une première intégration conduit à : ˙
xB(t) = ˙
x0(0) = v0 cos(α)
et ˙
yB(t) = −gt + ˙
yB(0) = −gt + v0 sin(α). Puis une seconde intégration à : xB(t) = v0 cos(α)t et
yB(t) = −
1
2
gt
2 + v0 sin(α)t + y0. D’où on déduit : t =
xB
v0 cos(α)
et l’équation de la trajectoire :
yB(xB) = −
g
2v
2
0
1
cos 2 (α)
x
2
B + tan(α)xB + y0, qui est celle d’une parabole.
2. On doit résoudre l’équation y(xm) = 0, soit x
2
m −
2v
2
0 cos(α) sin(α)
g
xm −
2v
2
0 cos
2 (α)
g
y0 = 0 dont xm est
la racine positive. On obtient : xm =
v
2
0 cos(α) sin(α)
g
+
v
2
0 cos(α) sin(α)
g
2
+
2v
2
0 cos
2 (α)y0
g
= 69 m.
3. Un point M de coordonnées (x, y) peut être atteint par le palet s’il existe une valeur de l’angle α telle
que y(x) = −
g
2v
2
0
1 + tan
2 (α)
x
2 + tan(α)x + y0. On résout cette équation à (x, y) fixés pour trouver
α. En posant Z = tan(α), on aboutit après simplification à l’équation en Z suivante :
gx
2 Z
2 − 2v
2
0 xZ + 2v
2
0 (y − y0) + gx
2 = 0. Pour qu’une solution réelle puisse exister, il faut avoir
Δ
= v
4
0 x
2 − gx
2
2v
2
0 (y − y0) + gx
2
≥ 0, soit : y ≤ y lim = −
g
2v
2
0
x
2 +
v
2
0
2g
+ y0. L’équation y lim (x) est
celle d’une parabole, dite parabole de sureté.
La meilleure marque est telle que y lim (xmax) = 0. On obtient : xmax =
2v
2
0
g
y0 +
v
2
0
2g
= 72 m.
Exercice 11.12
1. Le volant est soumis à son poids
#»
P = −mg #» uy et à la force de frottement fluide
#»
F t = −λ #» v (t).
2. Loi de la quantité de mouvement appliquée au volant dans R : m #» a (t) = m
d #» v
dt
(t) = −mg #» uy − λ #» v (t).
3. Par projection sur Ox : m
dvx
dt
(t) = −λvx(t), puis sur Oy : m
dvy
dt
(t) = −mg − λvy(t). Ces deux
équations se réécrivent sous la forme :
dvx
dt
(t) +
λ
m
vx(t) = 0 et
dvy
dt
(t) +
λ
m
vy(t) = −g.
4. En introduisant τ =
m
λ
= 1,3 s il vient :
dvx
dt
(t) +
1
τ
vx(t) = 0 et
dvy
dt
(t) +
1
τ
vy(t) = −g.
Les solutions de ces deux équations satisfaisant aux conditions initiales données sont : vx(t) = v0 exp
−
t
τ
et vy(t) = −gτ
1 − exp
−
t
τ
.
Par ailleurs : lim
t→∞
exp
−
t
τ
= 0. D’où : #» v lim = lim
t→∞
( #» v ) = −gτ #» uy. Lorsque cette vitesse limite est
atteinte, la trajectoire devient verticale. Ce n’est pas ce qui est observé sur le graphe. On en déduit
que la vitesse limite n’est pas atteinte avant que le volant touche le sol.
5. L’intégration de ˙
x = v0 exp
−
t
τ
en tenant compte de la condition initiale x(0) = 0 conduit à
x(t) = v0τ
1 − exp
−
t
τ
.
On en déduit l’abscisse maximale pouvant être atteinte par le volant : xmax = lim
t→∞
x = v0τ = 17 m.
6. L’intégration de ˙
y = −gτ
1 − exp
−
t
τ
avec la condition initiale y(0) = y0 = 3,0 m conduit à :
y(t) = gτ
2
1 − exp
−
t
τ
− gτ t + y0.
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Compte tenu des conditions initiales, une première intégration conduit à : ˙
xB(t) = ˙
x0(0) = v0 cos(α)
et ˙
yB(t) = −gt + ˙
yB(0) = −gt + v0 sin(α). Puis une seconde intégration à : xB(t) = v0 cos(α)t et
yB(t) = −
1
2
gt
2 + v0 sin(α)t + y0. D’où on déduit : t =
xB
v0 cos(α)
et l’équation de la trajectoire :
yB(xB) = −
g
2v
2
0
1
cos 2 (α)
x
2
B + tan(α)xB + y0, qui est celle d’une parabole.
2. On doit résoudre l’équation y(xm) = 0, soit x
2
m −
2v
2
0 cos(α) sin(α)
g
xm −
2v
2
0 cos
2 (α)
g
y0 = 0 dont xm est
la racine positive. On obtient : xm =
v
2
0 cos(α) sin(α)
g
+
v
2
0 cos(α) sin(α)
g
2
+
2v
2
0 cos
2 (α)y0
g
= 69 m.
3. Un point M de coordonnées (x, y) peut être atteint par le palet s’il existe une valeur de l’angle α telle
que y(x) = −
g
2v
2
0
1 + tan
2 (α)
x
2 + tan(α)x + y0. On résout cette équation à (x, y) fixés pour trouver
α. En posant Z = tan(α), on aboutit après simplification à l’équation en Z suivante :
gx
2 Z
2 − 2v
2
0 xZ + 2v
2
0 (y − y0) + gx
2 = 0. Pour qu’une solution réelle puisse exister, il faut avoir
Δ
= v
4
0 x
2 − gx
2
2v
2
0 (y − y0) + gx
2
≥ 0, soit : y ≤ y lim = −
g
2v
2
0
x
2 +
v
2
0
2g
+ y0. L’équation y lim (x) est
celle d’une parabole, dite parabole de sureté.
La meilleure marque est telle que y lim (xmax) = 0. On obtient : xmax =
2v
2
0
g
y0 +
v
2
0
2g
= 72 m.
Exercice 11.12
1. Le volant est soumis à son poids
#»
P = −mg #» uy et à la force de frottement fluide
#»
F t = −λ #» v (t).
2. Loi de la quantité de mouvement appliquée au volant dans R : m #» a (t) = m
d #» v
dt
(t) = −mg #» uy − λ #» v (t).
3. Par projection sur Ox : m
dvx
dt
(t) = −λvx(t), puis sur Oy : m
dvy
dt
(t) = −mg − λvy(t). Ces deux
équations se réécrivent sous la forme :
dvx
dt
(t) +
λ
m
vx(t) = 0 et
dvy
dt
(t) +
λ
m
vy(t) = −g.
4. En introduisant τ =
m
λ
= 1,3 s il vient :
dvx
dt
(t) +
1
τ
vx(t) = 0 et
dvy
dt
(t) +
1
τ
vy(t) = −g.
Les solutions de ces deux équations satisfaisant aux conditions initiales données sont : vx(t) = v0 exp
−
t
τ
et vy(t) = −gτ
1 − exp
−
t
τ
.
Par ailleurs : lim
t→∞
exp
−
t
τ
= 0. D’où : #» v lim = lim
t→∞
( #» v ) = −gτ #» uy. Lorsque cette vitesse limite est
atteinte, la trajectoire devient verticale. Ce n’est pas ce qui est observé sur le graphe. On en déduit
que la vitesse limite n’est pas atteinte avant que le volant touche le sol.
5. L’intégration de ˙
x = v0 exp
−
t
τ
en tenant compte de la condition initiale x(0) = 0 conduit à
x(t) = v0τ
1 − exp
−
t
τ
.
On en déduit l’abscisse maximale pouvant être atteinte par le volant : xmax = lim
t→∞
x = v0τ = 17 m.
6. L’intégration de ˙
y = −gτ
1 − exp
−
t
τ
avec la condition initiale y(0) = y0 = 3,0 m conduit à :
y(t) = gτ
2
1 − exp
−
t
τ
− gτ t + y0.
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