310 Chapitre 11
Loi de la quantité de mouvement
Exercice 11.9
1. Tarzan est soumis à son poids
#»
P et à la tension
#»
T de la liane. La loi de la quantité de mouvement
appliquée à Tarzan dans le référentiel terrestre galiléen s’écrit alors : m #» a =
#»
P +
#»
T .
2. On choisit la base polaire (G, #» ur, #» u θ , #» ux), avec Ox dirigé vers
l’arrière de la figure, #» ur =
# »
OG
L
et #» u θ = #» ux ∧ #» ur.
La tension de la liane s’écrit alors
#»
T = −T #» ur et l’accélération
de Tarzan #» a = L ¨
θ #» u θ − L ˙
θ
2 #» ur.
Par projection sur #» ur et #» u θ : −mL ˙
θ
2 = −T + mg cos(θ) et
mL ¨
θ = −mg sin(θ), qui constitue l’équation du mouvement.
3. On multiplie l’équation du mouvement par ˙
θ :
L ¨
θ ˙
θ = −g sin(θ) ˙
θ ⇐⇒
1
2
d(L ˙
θ
2 )
dt
= g
d cos(θ)
dt
G
#» g
•
α
#»
T
Ox
#» u θ
#» ur
×
θ
•
A
•
B
Puis on intègre entre t = 0, date à laquelle θ(0) = α et ˙
θ(0) = 0, et t :
1
2
L ˙
θ
2 = g (cos(θ) − cos(α)).
4. On réinjecte l’expression de L ˙
θ
2 dans celle donnant T , déduite de la projection sur #» ur :
T (θ) = mL ˙
θ
2 + mg cos(θ) = 3mg cos(θ) − 2mg cos(α)
La tension maximale est obtenue pour θ = 0, et vaut Tmax = mg(3 − 2 cos(α)) = 9,9 · 10
2 N.
Tarzan pourra donc retrouver Jane en B. Mais arrivera-t-il à la ramener en A ?
Compte tenu de l’expression de ˙
θ
2 , Tarzan parvient en B avec une vitesse nulle, puisque θB = −α.
Il saisit Jane et repart sans vitesse. Le problème du retour se pose donc dans les mêmes termes qu’à
l’aller. Seule la masse a changée. Elle est maintenant égale à (m + m
). La tension maximale lors du
retour sera donc égale à Tmax = (m + m
)g(3 − 2 cos(α)) = 1,6 · 10
3 N. La liane résistera !
Exercice 11.10
1. R doit prendre en compte la longueur du bras de l’athlète et la longueur du câble. Nous proposons,
après mesure effectuée sur un bras masculin, R = 2,0 m.
2. Le mouvement du boulet étant circulaire uniforme, de vitesse v0, de vitesse angulaire ω =
v0
R
, son
accélération centripète vaut aB = Rω
2 =
v
2
0
R
= 3,4 · 10
2 m · s
−2 g. Nous pouvons donc négliger le
poids du boulet dans la suite de l’exercice.
3. Le boulet B est soumis à son poids, que nous négligeons, et à la tension du câble
#»
T = −T #» ur. Nous
travaillons dans le référentiel terrestre R supposé galiléen et utilisons le repère polaire (B, #» ur, #» u θ , #» uz)
avec #» ur =
# »
CB
R
, #» uz perpendiculaire au plan du cercle et dirigé vers le haut et #» u θ = #» uz ∧ #» ur tangent au
cercle et orienté dans le sens du mouvement de B. L’accélération du boulet dans R est #» a B = −
v
2
0
R
#» ur.
La loi de la quantité de mouvement appliquée au boulet dans R fournit l’équation du mouvement :
m #» a B =
#»
T = −T #» ur. Par projection sur la base polaire nous obtenons : T = m
v
2
0
R
= 2,5 · 10
3 N.
Exercice 11.11
1. Le boulet une fois lancé n’est plus soumis qu’à son poids
#»
P = −mg #» uy. Son accélération dans le
référentiel terrestre R est #» a (t) = ¨
xB(t) #» ux + ¨
yB(t) #» uy. La loi de la quantité de mouvement appliquée à
B dans R supposé galiléen amène à m #» a (t) = m #» g .
Par projection sur les deux axes on obtient deux équations différentielles : ¨
yB(t) = −g et ¨
xB(t) = 0.
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