Exercices 299
Exercices
Exercice 11.1 Une pelle sur un toboggan
Méthode (11.1)
Au jardin d’enfant, le jeune Elio fait glisser sa pelle de masse m = 200 g sur un toboggan en lui
communiquant une vitesse initiale v 0 = 2,0 m · s
−1 , dans le sens de la montée.
α
× G
#» g
O
Toboggan
Le mouvement de la pelle est un mouvement de translation rectiligne ascendant sur le plan incliné du toboggan.
Le centre de masse G de la pelle se trouve initialement en
O. La pente du toboggan est définie par l’angle α = 20°.
Le référentiel terrestre R est supposé galiléen et l’accélération de la pesanteur vaut g = 9,8 m · s
−2 . Nous négligeons tous les frottements.
1. Choisir un repère adapté au problème.
2. Faire un bilan des forces appliquées à la pelle.
3. Appliquer la loi de la quantité de mouvement à la pelle dans R.
4. Projeter l’équation du mouvement sur les vecteurs de base.
5. Déterminer l’équation horaire du mouvement.
6. En déduire la distance maximale parcourue par G dans le sens de la montée.
Exercice 11.2 La vie ne tient qu’à un élastique
Méthode (11.1)
Un alpiniste chute au cours d’une ascension particulièrement difficile. Il est alors suspendu dans le
vide, relié à un point fixe O de cote z O = 0 par une corde dite dynamique que nous supposerons
de masse négligeable.
z
M •
•
O
#» g
L’élasticité de la corde est telle qu’elle peut être assimilée
à un ressort de raideur k = 2,1 · 10
3 N · m
−1 et de longueur à vide l 0 = 10 m lorsqu’elle est tendue. La corde
est sans influence lorsqu’elle n’est pas tendue.
L’alpiniste assimilé à un point M de masse m = 70 kg
est repéré par sa cote z(t) (son mouvement éventuel est
vertical).
L’accélération de la pesanteur est g = 9,8 m · s
−2 et nous
négligeons tout frottement.
1. Faire un bilan des forces exercées sur l’alpiniste.
2. Déterminer la longueur l e de la corde à l’équilibre. La calculer.
3. Écrire l’équation différentielle vérifiée par z(t). La résoudre avec z(0) = l e + a et ˙
z(0) = 0. Nous
supposons ici que la corde reste tendue et peut donc être assimilée à un ressort.
4. Calculer la période des oscillations. Dépend-elle de a ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
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Exercice 11.1 Une pelle sur un toboggan
Méthode (11.1)
Au jardin d’enfant, le jeune Elio fait glisser sa pelle de masse m = 200 g sur un toboggan en lui
communiquant une vitesse initiale v 0 = 2,0 m · s
−1 , dans le sens de la montée.
α
× G
#» g
O
Toboggan
Le mouvement de la pelle est un mouvement de translation rectiligne ascendant sur le plan incliné du toboggan.
Le centre de masse G de la pelle se trouve initialement en
O. La pente du toboggan est définie par l’angle α = 20°.
Le référentiel terrestre R est supposé galiléen et l’accélération de la pesanteur vaut g = 9,8 m · s
−2 . Nous négligeons tous les frottements.
1. Choisir un repère adapté au problème.
2. Faire un bilan des forces appliquées à la pelle.
3. Appliquer la loi de la quantité de mouvement à la pelle dans R.
4. Projeter l’équation du mouvement sur les vecteurs de base.
5. Déterminer l’équation horaire du mouvement.
6. En déduire la distance maximale parcourue par G dans le sens de la montée.
Exercice 11.2 La vie ne tient qu’à un élastique
Méthode (11.1)
Un alpiniste chute au cours d’une ascension particulièrement difficile. Il est alors suspendu dans le
vide, relié à un point fixe O de cote z O = 0 par une corde dite dynamique que nous supposerons
de masse négligeable.
z
M •
•
O
#» g
L’élasticité de la corde est telle qu’elle peut être assimilée
à un ressort de raideur k = 2,1 · 10
3 N · m
−1 et de longueur à vide l 0 = 10 m lorsqu’elle est tendue. La corde
est sans influence lorsqu’elle n’est pas tendue.
L’alpiniste assimilé à un point M de masse m = 70 kg
est repéré par sa cote z(t) (son mouvement éventuel est
vertical).
L’accélération de la pesanteur est g = 9,8 m · s
−2 et nous
négligeons tout frottement.
1. Faire un bilan des forces exercées sur l’alpiniste.
2. Déterminer la longueur l e de la corde à l’équilibre. La calculer.
3. Écrire l’équation différentielle vérifiée par z(t). La résoudre avec z(0) = l e + a et ˙
z(0) = 0. Nous
supposons ici que la corde reste tendue et peut donc être assimilée à un ressort.
4. Calculer la période des oscillations. Dépend-elle de a ?
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