284 Chapitre 10
Cinématique du point et du solide
et compte tenu de ces conditions initiales, on obtient : xS(t) =
aS
2
(t − t1)
2 + vS0(t − t1) + xS1. Pour
que xS(t2) = xC il faut donc que : aS =
2
(t2 − t1) 2 (xC − xS1) − 2
vS0
(t2 − t1)
= 1,1 m · s
−2 .
3. Le ballon décrit pour finir un cercle de rayon R, tangent à l’axe Ox au point P P , et dont le centre D a
pour coordonnées [xD; yD] = [41 m; 20 m]. En utilisant l’angle θ défini sur la figure ci-dessous, il vient :
yP − yA = R(1 − cos θ) = R(1 −
√
1 − sin
2 θ) avec sin θ =
(xA − xPP )
R
. On trouve :
yP − yA = 3,3 m. Cette valeur étant inférieure à L = 3,6 m, le tir est « cadré ».
Le ballon décrit un arc de cercle de longueur Rθ = R arcsin
(xA − xPP )
R
= 12 m
à la vitesse constante vB1 = 40 m · s
−1 . Il parvient donc au but en un temps
Δt =
Rθ
vB1
= 29 · 10
−2 s. Il faudra de la réussite au gardien pour que la balle n’aille
pas au fond des filets...
x
y
• D
•
P P
•
A
• P
θ
Exercice 10.15
1. Lorsque l’avion de Liza vole en suivant un méridien, il se déplace, dans un plan contenant l’axe de
rotation de la terre, sur un cercle de centre O et de rayon R. On en déduit la longueur d’un trajet
effectué le long d’un méridien : L = R | Δθ |= R | Δλ |. Pour les trajets New York-Ottawa et
Portland-Redding : | Δλ |= 5° = 8,7 · 10
−2 rad et LNY −O = LP −R = 5,6 · 10
2 km.
2. Lorsque l’avion de Liza, assimilé à un point M , vole en suivant un parallèle, il se déplace dans un plan
normal à l’axe de rotation de la terre sur un cercle dont le centre est la projection H du point M
sur cet axe et de rayon R sin θ. On en déduit la longueur d’un trajet effectué le long d’un méridien :
L = R cos λ | Δϕ |= R sin θ | Δϕ |. Pour le trajet Ottawa - Portland : | Δϕ |= 48° = 8,4 · 10
−1 rad,
θ = 45° = 7,9 · 10
−1 rad et LO−P = 3,8 · 10
3 km. Pour le trajet Redding-New York :
| Δϕ |= 48° = 8,4 · 10
−1 rad, θ = 50° = 7,0 · 10
−1 rad et LR−NY = 4,1 · 10
3 km.
3.
# »
OM = R #» ur
4. #» ur = sin θ cos ϕ #» ux + sin θsinϕ #» uy + cos θ #» uz
#» u θ = cos θ cos ϕ #» ux + cos θ sin ϕ #» uy − sin θ #» uz
#» uϕ = − sin ϕ #» ux + cos ϕ #» uy
5. #» v = R
d #» ur
dt
= R(cos θ cos ϕ ˙
θ − sin θ sin ϕ ˙
ϕ) #» ux + R(cos θ sin ϕ ˙
θ + sin θ cos ϕ ˙
ϕ) #» uy − R sin θ ˙
θ #» uz
#» v = R(cos θ cos ϕ #» ux + cos θ sin ϕ #» uy − sin θ #» uz) ˙
θ + R(− sin θ sin ϕ #» ux + sin θ cos ϕ #» uy) ˙
ϕ
#» v = R ˙
θ #» u θ + R sin θ ˙
ϕ #» uϕ
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Cinématique du point et du solide
et compte tenu de ces conditions initiales, on obtient : xS(t) =
aS
2
(t − t1)
2 + vS0(t − t1) + xS1. Pour
que xS(t2) = xC il faut donc que : aS =
2
(t2 − t1) 2 (xC − xS1) − 2
vS0
(t2 − t1)
= 1,1 m · s
−2 .
3. Le ballon décrit pour finir un cercle de rayon R, tangent à l’axe Ox au point P P , et dont le centre D a
pour coordonnées [xD; yD] = [41 m; 20 m]. En utilisant l’angle θ défini sur la figure ci-dessous, il vient :
yP − yA = R(1 − cos θ) = R(1 −
√
1 − sin
2 θ) avec sin θ =
(xA − xPP )
R
. On trouve :
yP − yA = 3,3 m. Cette valeur étant inférieure à L = 3,6 m, le tir est « cadré ».
Le ballon décrit un arc de cercle de longueur Rθ = R arcsin
(xA − xPP )
R
= 12 m
à la vitesse constante vB1 = 40 m · s
−1 . Il parvient donc au but en un temps
Δt =
Rθ
vB1
= 29 · 10
−2 s. Il faudra de la réussite au gardien pour que la balle n’aille
pas au fond des filets...
x
y
• D
•
P P
•
A
• P
θ
Exercice 10.15
1. Lorsque l’avion de Liza vole en suivant un méridien, il se déplace, dans un plan contenant l’axe de
rotation de la terre, sur un cercle de centre O et de rayon R. On en déduit la longueur d’un trajet
effectué le long d’un méridien : L = R | Δθ |= R | Δλ |. Pour les trajets New York-Ottawa et
Portland-Redding : | Δλ |= 5° = 8,7 · 10
−2 rad et LNY −O = LP −R = 5,6 · 10
2 km.
2. Lorsque l’avion de Liza, assimilé à un point M , vole en suivant un parallèle, il se déplace dans un plan
normal à l’axe de rotation de la terre sur un cercle dont le centre est la projection H du point M
sur cet axe et de rayon R sin θ. On en déduit la longueur d’un trajet effectué le long d’un méridien :
L = R cos λ | Δϕ |= R sin θ | Δϕ |. Pour le trajet Ottawa - Portland : | Δϕ |= 48° = 8,4 · 10
−1 rad,
θ = 45° = 7,9 · 10
−1 rad et LO−P = 3,8 · 10
3 km. Pour le trajet Redding-New York :
| Δϕ |= 48° = 8,4 · 10
−1 rad, θ = 50° = 7,0 · 10
−1 rad et LR−NY = 4,1 · 10
3 km.
3.
# »
OM = R #» ur
4. #» ur = sin θ cos ϕ #» ux + sin θsinϕ #» uy + cos θ #» uz
#» u θ = cos θ cos ϕ #» ux + cos θ sin ϕ #» uy − sin θ #» uz
#» uϕ = − sin ϕ #» ux + cos ϕ #» uy
5. #» v = R
d #» ur
dt
= R(cos θ cos ϕ ˙
θ − sin θ sin ϕ ˙
ϕ) #» ux + R(cos θ sin ϕ ˙
θ + sin θ cos ϕ ˙
ϕ) #» uy − R sin θ ˙
θ #» uz
#» v = R(cos θ cos ϕ #» ux + cos θ sin ϕ #» uy − sin θ #» uz) ˙
θ + R(− sin θ sin ϕ #» ux + sin θ cos ϕ #» uy) ˙
ϕ
#» v = R ˙
θ #» u θ + R sin θ ˙
ϕ #» uϕ
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