232 Chapitre 9
Filtrage linéaire
Exercices
Exercice 9.1 Diagramme de Bode et superposition
Méthodes (9.1) (9.3)
Considérons un filtre de fonction de transfert H =
H 0
1 + j
f
f c
. On rappelle que le diagramme de
Bode asymptotique en gain de ce filtre est constitué de deux demi-droites se coupant en f = f c :
— f < f c : demi-droite d’équation G dB = 20 log(|H 0 |) (horizontale) ;
— f > f c : demi-droite d’équation G dB = 20 log(|H 0 |) − 20 log(f/f c ), de pente -20 dB/décade.
En ce qui concerne le diagramme de Bode asymptotique en phase, il est constitué de deux demidroites :
— f < f c : demi-droite d’équation ϕ = arg(H 0 ) ;
— f > f c : demi-droite d’équation ϕ = arg(H 0 ) −
π
2
.
On considère un système physique linéaire permettant, à partir d’un signal d’entrée e(t) = E m cos(ωt),
de générer un signal de sortie s(t) = S m cos(ωt + ϕ).
La relation entre les grandeurs d’entrée et de sortie est donnée par la fonction de transfert complexe
H =
s
e
=
3
2 + 5j
ω
ω 1
1 + 3j
ω
ω 2
avec ω 1 = 1,0 · 10
3 rad · s
−1 et ω 2 = 6,0 · 10
3 rad · s
−1 .
1. Déterminer l’expression de S m et ϕ en fonction de E m , ω, ω 1 , ω 2 .
Avec E m = 1,0 V, calculer numériquement S m et ϕ pour ω = 1,0 · 10
2 rad · s
−1 , ω = 1,0 · 10
3 rad · s
−1
et ω = 1,0 · 10
4 rad · s
−1 . Commenter.
2. En terme de filtrage, quelle est la fonction réalisée par la fonction de transfert H ? La mettre
sous la forme canonique suivante : H =
H 0
1 + j
f
f c1
1 + j
f
f c2
et identifier les expressions
de H 0 , f c1 et f c2 . Calculer numériquement f c1 et f c2 .
3. En remarquant que H est le produit de H 1 =
H 0
1 + j
f
f c1
et de H 2 =
1
1 + j
f
f c2
, tracer le
diagramme de Bode asymptotique correspondant à H (on pourra procéder par superposition).
Exercice 9.2 Filtre RLC passe-bande
Méthode (9.2)
Un filtre passe-bande peut être réalisé avec une bobine et un condensateur. La figure suivante
montre le schéma d’un filtre RLC idéal (bobine idéale d’inductance L) et le diagramme de Bode
pour L = 11,3 mH, C = 0,99 μF et trois valeurs de R.
partagelivrescpge.blogspot.com
Filtrage linéaire
Exercices
Exercice 9.1 Diagramme de Bode et superposition
Méthodes (9.1) (9.3)
Considérons un filtre de fonction de transfert H =
H 0
1 + j
f
f c
. On rappelle que le diagramme de
Bode asymptotique en gain de ce filtre est constitué de deux demi-droites se coupant en f = f c :
— f < f c : demi-droite d’équation G dB = 20 log(|H 0 |) (horizontale) ;
— f > f c : demi-droite d’équation G dB = 20 log(|H 0 |) − 20 log(f/f c ), de pente -20 dB/décade.
En ce qui concerne le diagramme de Bode asymptotique en phase, il est constitué de deux demidroites :
— f < f c : demi-droite d’équation ϕ = arg(H 0 ) ;
— f > f c : demi-droite d’équation ϕ = arg(H 0 ) −
π
2
.
On considère un système physique linéaire permettant, à partir d’un signal d’entrée e(t) = E m cos(ωt),
de générer un signal de sortie s(t) = S m cos(ωt + ϕ).
La relation entre les grandeurs d’entrée et de sortie est donnée par la fonction de transfert complexe
H =
s
e
=
3
2 + 5j
ω
ω 1
1 + 3j
ω
ω 2
avec ω 1 = 1,0 · 10
3 rad · s
−1 et ω 2 = 6,0 · 10
3 rad · s
−1 .
1. Déterminer l’expression de S m et ϕ en fonction de E m , ω, ω 1 , ω 2 .
Avec E m = 1,0 V, calculer numériquement S m et ϕ pour ω = 1,0 · 10
2 rad · s
−1 , ω = 1,0 · 10
3 rad · s
−1
et ω = 1,0 · 10
4 rad · s
−1 . Commenter.
2. En terme de filtrage, quelle est la fonction réalisée par la fonction de transfert H ? La mettre
sous la forme canonique suivante : H =
H 0
1 + j
f
f c1
1 + j
f
f c2
et identifier les expressions
de H 0 , f c1 et f c2 . Calculer numériquement f c1 et f c2 .
3. En remarquant que H est le produit de H 1 =
H 0
1 + j
f
f c1
et de H 2 =
1
1 + j
f
f c2
, tracer le
diagramme de Bode asymptotique correspondant à H (on pourra procéder par superposition).
Exercice 9.2 Filtre RLC passe-bande
Méthode (9.2)
Un filtre passe-bande peut être réalisé avec une bobine et un condensateur. La figure suivante
montre le schéma d’un filtre RLC idéal (bobine idéale d’inductance L) et le diagramme de Bode
pour L = 11,3 mH, C = 0,99 μF et trois valeurs de R.
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