L’essentiel du cours 227
5 Dérivateur et intégrateur
Un filtre dérivateur réalise l’opération s(t) = τ
de(t)
dt
où τ est une constante positive ou négative
homogène à un temps. En régime sinusoïdal, en utilisant la notation complexe, cela conduit à la
relation entre amplitudes complexes : S = jτ ωE. On en déduit la fonction de transfert d’un filtre
dérivateur : H(ω) = jτ ω. Pour un tel filtre, le gain en décibels présente une pente de +20 dB par
décade et le déphasage est égal à π/2 si τ > 0 ou à −π/2 si τ < 0.
Un filtre intégrateur réalise l’opération s(t) =
1
τ
e(t)dt où τ est une constante positive ou
négative homogène à un temps. En régime sinusoïdal, en utilisant la notation complexe, cela conduit
à la relation entre amplitudes complexes : S =
1
jτ ω
E. On en déduit la fonction de transfert d’un
filtre intégrateur : H(ω) =
1
jτ ω
. Pour un tel filtre, le gain en décibels présente une pente de −20 dB
par décade et le déphasage est égal à −π/2 si τ > 0 ou à π/2 si τ < 0.
Comment dériver ou intégrer un signal périodique non sinusoïdal ?
Un signal périodique de fréquence f peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux
de fréquences f n = nf (série de Fourier). Notons n min et n max les valeurs minimale et maximale
des rangs de ses harmoniques significatifs, auxquels correspondent les fréquences f min et f max .
• Un filtre peut être utilisé comme dérivateur dans un domaine de fréquence où son gain
a une pente de +20 dB par décade et où son déphasage est égal à π/2 ou −π/2.
• Un filtre peut être utilisé comme intégrateur dans un domaine de fréquence où son gain
a une pente de −20 dB par décade et où son déphasage est égal à π/2 ou −π/2.
• Le filtre doit être calibré de sorte que les fréquences des harmoniques significatives du
signal appartiennent toutes au domaine dans lequel il se comporte comme un dérivateur
ou un intégrateur. On prend en général comme critère :
— pour un dérivateur : f max < 10f c ;
— pour un intégrateur : f min > 10f c .
Méthode 9.5 : Utilisation d’un filtre comme dérivateur ou intégrateur
Exercice (9.5)
Un filtre dont le gain en décibels ne présente dans aucun domaine une pente égale à
+20 dB par décade ne peut pas être utilisé comme dérivateur. De même un filtre dont le
gain en décibels ne présente dans aucun domaine une pente égale à −20 dB par décade
ne peut pas être utilisé comme intégrateur.
6 Les différents types de filtres
Nous présentons dans cette partie les différents types de filtres rencontrés dans les exercices. Les
fonctions de transfert sont données sous forme canonique (le dénominateur commence par 1) avec
H 0 le gain maximal dans la bande passante, f c la fréquence de coupure, f 0 la fréquence propre du
filtre et Q le facteur de qualité.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
5 Dérivateur et intégrateur
Un filtre dérivateur réalise l’opération s(t) = τ
de(t)
dt
où τ est une constante positive ou négative
homogène à un temps. En régime sinusoïdal, en utilisant la notation complexe, cela conduit à la
relation entre amplitudes complexes : S = jτ ωE. On en déduit la fonction de transfert d’un filtre
dérivateur : H(ω) = jτ ω. Pour un tel filtre, le gain en décibels présente une pente de +20 dB par
décade et le déphasage est égal à π/2 si τ > 0 ou à −π/2 si τ < 0.
Un filtre intégrateur réalise l’opération s(t) =
1
τ
e(t)dt où τ est une constante positive ou
négative homogène à un temps. En régime sinusoïdal, en utilisant la notation complexe, cela conduit
à la relation entre amplitudes complexes : S =
1
jτ ω
E. On en déduit la fonction de transfert d’un
filtre intégrateur : H(ω) =
1
jτ ω
. Pour un tel filtre, le gain en décibels présente une pente de −20 dB
par décade et le déphasage est égal à −π/2 si τ > 0 ou à π/2 si τ < 0.
Comment dériver ou intégrer un signal périodique non sinusoïdal ?
Un signal périodique de fréquence f peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux
de fréquences f n = nf (série de Fourier). Notons n min et n max les valeurs minimale et maximale
des rangs de ses harmoniques significatifs, auxquels correspondent les fréquences f min et f max .
• Un filtre peut être utilisé comme dérivateur dans un domaine de fréquence où son gain
a une pente de +20 dB par décade et où son déphasage est égal à π/2 ou −π/2.
• Un filtre peut être utilisé comme intégrateur dans un domaine de fréquence où son gain
a une pente de −20 dB par décade et où son déphasage est égal à π/2 ou −π/2.
• Le filtre doit être calibré de sorte que les fréquences des harmoniques significatives du
signal appartiennent toutes au domaine dans lequel il se comporte comme un dérivateur
ou un intégrateur. On prend en général comme critère :
— pour un dérivateur : f max < 10f c ;
— pour un intégrateur : f min > 10f c .
Méthode 9.5 : Utilisation d’un filtre comme dérivateur ou intégrateur
Exercice (9.5)
Un filtre dont le gain en décibels ne présente dans aucun domaine une pente égale à
+20 dB par décade ne peut pas être utilisé comme dérivateur. De même un filtre dont le
gain en décibels ne présente dans aucun domaine une pente égale à −20 dB par décade
ne peut pas être utilisé comme intégrateur.
6 Les différents types de filtres
Nous présentons dans cette partie les différents types de filtres rencontrés dans les exercices. Les
fonctions de transfert sont données sous forme canonique (le dénominateur commence par 1) avec
H 0 le gain maximal dans la bande passante, f c la fréquence de coupure, f 0 la fréquence propre du
filtre et Q le facteur de qualité.
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