218 Chapitre 9
Filtrage linéaire
Dans le cas du signal de la figure 9.1, la valeur moyenne s’écrit :
E 0 =
1
T
T
0
e(t)dt =
1
T
αT
0
Adt +
1
T
T
αT
0dt = αA
La valeur efficace E eff d’un signal périodique e(t) de période T est définie par :
E eff =
e 2 (t) =
1
T
t0+T
t0
e 2 (t)dt. Le résultat est indépendant de t 0 .
Définition : Valeur efficace d’un signal périodique
Dans le cas du signal de la figure 9.1 la valeur efficace s’écrit :
E eff =
1
T
T
0
e 2 (t)dt =
1
T
αT
0
A 2 dt +
1
T
T
αT
0 dt =
√
αA
Quelle est la valeur efficace du signal sinusoïdal : s(t) = S m cos(ωt + ϕ) ?
La période de ce signal est T =
2π
ω
et cos
2 (ωt + ϕ) =
1
2
+
1
2
cos(2ωt + 2ϕ). D’où :
S eff =
1
T
T
0
S 2
m cos 2 (ωt + ϕ)dt =
1
T
T
0
S
2
m
2
dt +
1
T
T
0
S
2
m
2
cos(2ωt + 2ϕ)dt =
S m
√
2
Au laboratoire, un multimètre en mode AC permet de mesurer la valeur efficace d’un
signal sinusoïdal. La mesure de l’amplitude s’obtient en multipliant le résultat par
√
2.
Un signal périodique de période T , de fréquence f = 1/T , peut s’écrire comme une somme de
signaux sinusoïdaux de fréquences nf , constituant sa décomposition en série de Fourier :
e(t) = E 0 +
∞
n=1
E n cos (n2πf t + φ n )
E 0 est la valeur moyenne du signal et E n cos (n2πf t + φ n ) son harmonique de rang n, de
fréquence f n = nf , d’amplitude E n et de phase à l’origine φ n . Le fondamental est l’harmonique
de rang 1.
Définition : Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique
La figure 9.2 représente le spectre en fréquence et en amplitude du signal carré représenté figure
9.1, limité aux cinq premiers harmoniques.
Comment récupérer la valeur moyenne du signal (ou composante continue) pour
obtenir un signal constant dans le temps ?
Dans notre contexte, nous cherchons à élaborer un signal constant à partir d’un signal carré. Nous
allons voir que nous pouvons y parvenir à l’aide d’un système permettant de sélectionner certaines
harmoniques d’un signal périodique et d’éliminer les autres. Un tel système constitue un filtre.
partagelivrescpge.blogspot.com
Filtrage linéaire
Dans le cas du signal de la figure 9.1, la valeur moyenne s’écrit :
E 0 =
1
T
T
0
e(t)dt =
1
T
αT
0
Adt +
1
T
T
αT
0dt = αA
La valeur efficace E eff d’un signal périodique e(t) de période T est définie par :
E eff =
e 2 (t) =
1
T
t0+T
t0
e 2 (t)dt. Le résultat est indépendant de t 0 .
Définition : Valeur efficace d’un signal périodique
Dans le cas du signal de la figure 9.1 la valeur efficace s’écrit :
E eff =
1
T
T
0
e 2 (t)dt =
1
T
αT
0
A 2 dt +
1
T
T
αT
0 dt =
√
αA
Quelle est la valeur efficace du signal sinusoïdal : s(t) = S m cos(ωt + ϕ) ?
La période de ce signal est T =
2π
ω
et cos
2 (ωt + ϕ) =
1
2
+
1
2
cos(2ωt + 2ϕ). D’où :
S eff =
1
T
T
0
S 2
m cos 2 (ωt + ϕ)dt =
1
T
T
0
S
2
m
2
dt +
1
T
T
0
S
2
m
2
cos(2ωt + 2ϕ)dt =
S m
√
2
Au laboratoire, un multimètre en mode AC permet de mesurer la valeur efficace d’un
signal sinusoïdal. La mesure de l’amplitude s’obtient en multipliant le résultat par
√
2.
Un signal périodique de période T , de fréquence f = 1/T , peut s’écrire comme une somme de
signaux sinusoïdaux de fréquences nf , constituant sa décomposition en série de Fourier :
e(t) = E 0 +
∞
n=1
E n cos (n2πf t + φ n )
E 0 est la valeur moyenne du signal et E n cos (n2πf t + φ n ) son harmonique de rang n, de
fréquence f n = nf , d’amplitude E n et de phase à l’origine φ n . Le fondamental est l’harmonique
de rang 1.
Définition : Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique
La figure 9.2 représente le spectre en fréquence et en amplitude du signal carré représenté figure
9.1, limité aux cinq premiers harmoniques.
Comment récupérer la valeur moyenne du signal (ou composante continue) pour
obtenir un signal constant dans le temps ?
Dans notre contexte, nous cherchons à élaborer un signal constant à partir d’un signal carré. Nous
allons voir que nous pouvons y parvenir à l’aide d’un système permettant de sélectionner certaines
harmoniques d’un signal périodique et d’éliminer les autres. Un tel système constitue un filtre.
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