Exercices 181
Exercices
Exercice 7.1 Résoudre une équation différentielle du second ordre
Méthode (7.1)
Un système physique est régi par une équation différentielle du type a¨ x + b ˙
x + cx = d, où x est
homogène à une longueur. On considère les cas suivants :
a (m · s
−2 ) b (m · s
−1 )
c
d (m)
(1)
1,0
−2,0
5,0
0,0
(2)
1,0
0,30
−6,0
0,0
(3)
1,0
0,10
25
0,0
(4)
2,0
10
1,0
0,0
(5)
1,0
0,10
25,0
8,0
1. Résoudre ces équations, en prenant comme conditions initiales x(0) = 1,0 m et ˙
x(0) = 0,0 m · s
−1 .
2. Commenter, dans chaque cas, la stabilité du système.
Exercice 7.2 Rôle du coefficient de frottement
Méthode (7.2)
Un corps (S), de masse m = 90 g est suspendu à un point fixe O par
l’intermédiaire d’un ressort vertical de raideur k = 1,0 · 10
2 N · m
−1 et
de longueur à vide l 0 . Il est plongé dans une éprouvette, non représentée,
remplie d’un liquide visqueux. Lorsqu’il est animé d’une vitesse #» v , il est
soumis de la part de ce liquide à une force de frottement fluide
#»
F = −h #» v .
La position de (S) est repérée par la coordonnée z(t) de son centre
d’inertie M sur un axe vertical descendant Oz. On note z eq la valeur de
z à l’équilibre et on pose Z(t) = z(t) − z eq .
•
O
M
z
z(t)
0
Dans le référentiel R lié au sol et supposé galiléen,
l’équation différentielle du mouvement s’écrit :
¨
Z +
h
m
˙
Z +
k
m
Z = 0
Pour différents fluides, de viscosités différentes et
donc pour lesquels le coefficient de frottement h
est différent, on réalise la capture vidéo du mouvement de (S) qu’on lâche, chaque fois, à t = 0
avec une vitesse nulle dans la position Z 0 = a > 0.
On en déduit après traitement le comportement
de Z(t), représenté ci-contre pour les différents
fluides utilisés.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t (s)
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Z (cm)
Frottement variable
C 1
C 2
C 3
C 4
C 5
1. Pour chacune des courbes, identifier a priori le type de régime libre correspondant.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercices
Exercice 7.1 Résoudre une équation différentielle du second ordre
Méthode (7.1)
Un système physique est régi par une équation différentielle du type a¨ x + b ˙
x + cx = d, où x est
homogène à une longueur. On considère les cas suivants :
a (m · s
−2 ) b (m · s
−1 )
c
d (m)
(1)
1,0
−2,0
5,0
0,0
(2)
1,0
0,30
−6,0
0,0
(3)
1,0
0,10
25
0,0
(4)
2,0
10
1,0
0,0
(5)
1,0
0,10
25,0
8,0
1. Résoudre ces équations, en prenant comme conditions initiales x(0) = 1,0 m et ˙
x(0) = 0,0 m · s
−1 .
2. Commenter, dans chaque cas, la stabilité du système.
Exercice 7.2 Rôle du coefficient de frottement
Méthode (7.2)
Un corps (S), de masse m = 90 g est suspendu à un point fixe O par
l’intermédiaire d’un ressort vertical de raideur k = 1,0 · 10
2 N · m
−1 et
de longueur à vide l 0 . Il est plongé dans une éprouvette, non représentée,
remplie d’un liquide visqueux. Lorsqu’il est animé d’une vitesse #» v , il est
soumis de la part de ce liquide à une force de frottement fluide
#»
F = −h #» v .
La position de (S) est repérée par la coordonnée z(t) de son centre
d’inertie M sur un axe vertical descendant Oz. On note z eq la valeur de
z à l’équilibre et on pose Z(t) = z(t) − z eq .
•
O
M
z
z(t)
0
Dans le référentiel R lié au sol et supposé galiléen,
l’équation différentielle du mouvement s’écrit :
¨
Z +
h
m
˙
Z +
k
m
Z = 0
Pour différents fluides, de viscosités différentes et
donc pour lesquels le coefficient de frottement h
est différent, on réalise la capture vidéo du mouvement de (S) qu’on lâche, chaque fois, à t = 0
avec une vitesse nulle dans la position Z 0 = a > 0.
On en déduit après traitement le comportement
de Z(t), représenté ci-contre pour les différents
fluides utilisés.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t (s)
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Z (cm)
Frottement variable
C 1
C 2
C 3
C 4
C 5
1. Pour chacune des courbes, identifier a priori le type de régime libre correspondant.
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