2 • Le monde microscopique
35
1- Pour s = 0 nous avons un seul micro-état correspondant à (12´ 0 + 6´ 0 ) : (1,1,1,0,0,2,2,2,0,0).
Puisque les particules sont indiscernables, notons qu’il n’y a pas lieu de considérer la configuration : (2,2,2,0,0,1,1,1,0,0) qui est identique à la précédente.
2- Si s =
1
2 , le niveau d’énergie est 4 fois dégénéré puisque sur chaque niveau à une particule
nous pouvons mettre, de manière indépendante, une particule avec s z = ±
1
2 . Ces micro-états
s’écrivent :
(1, 1, 1,
1
2 , −
1
2 , 2, 2, 2,
1
2 , −
1
2 ) (1, 1, 1,
1
2 , −
1
2 , 2, 2, 2,
1
2 , +
1
2 )
(1, 1, 1,
1
2 , +
1
2 , 2, 2, 2,
1
2 , −
1
2 ) (1, 1, 1,
1
2 , +
1
2 , 2, 2, 2,
1
2 , +
1
2 )
Un micro-état associé à une particule libre dans une boîte cubique correspond à la donnée de
cinq nombres quantiques. Pour deux particules il en faut dix et pour N particules 5N.
Remarque. La manière de procéder en deux étapes, qui consiste à résoudre le problème
dans l’espace pour obtenir les configurations, puis d’occuper celles-ci par les particules,
ne peut se faire que si les interactions entre les particules ne dépendent pas du spin, sinon
les niveaux d’énergie et les configurations seraient modifiés.
2.3 SYSTÈMES À N PARTICULES INDÉPENDANTES
Nous allons à présent appliquer les notions précédentes à quelques exemples simples.
Considérons un système où les niveaux d’énergie à une particule sont régulièrement
espacés et non dégénérés lorsque l’on ne tient pas compte du spin. Prenons pour origine des énergies le niveau le plus bas et comme unité la différence entre deux niveaux
consécutifs. Nous allons, dans plusieurs cas, étudier l’état d’un système constitué de trois
particules indépendantes dont l’énergie totale est égale à trois unités.
2.3.1 Particules discernables
Bien qu’irréaliste, cette situation est intéressante pour illustrer la manière dont on décompte les micro-états. Supposons qu’une particule soit bleue (B), l’autre rouge (R) et
la dernière jaune (J). Oublions pour le moment la nature des particules et cherchons de
combien de manières différentes trois particules peuvent conduire à 3 unités d’énergie.
On trouve trois configurations possibles (figure 4) :
1- Une particule sur le niveau 3 et deux sur le niveau zéro.
2- Une particule sur chacun des trois premiers niveaux.
3- Trois particules sur le premier niveau.
Considérons à présent la nature des particules et évaluons le nombre de micro-états
associés à chaque configuration. Nous noterons un micro-état par (n B , n R , n J ) où n B ,
n R et n J repèrent les niveaux occupés par les particules B, R et J, respectivement. Pour
la première configuration, (figure 4a), nous avons trois micro-états possibles : (3,0,0),
(0,3,0) et (0,0,3). Pour la seconde, nous avons les 6 possibilités indiquées sur la figure 4b
et pour la troisième configuration nous n’avons qu’une seule possibilité (figure 4c). Au
total, pour ce système à trois particules, la dégénérescence du niveau d’énergie est égale
à 10 et nous avons 10 micro-états différents à trois particules.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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1- Pour s = 0 nous avons un seul micro-état correspondant à (12´ 0 + 6´ 0 ) : (1,1,1,0,0,2,2,2,0,0).
Puisque les particules sont indiscernables, notons qu’il n’y a pas lieu de considérer la configuration : (2,2,2,0,0,1,1,1,0,0) qui est identique à la précédente.
2- Si s =
1
2 , le niveau d’énergie est 4 fois dégénéré puisque sur chaque niveau à une particule
nous pouvons mettre, de manière indépendante, une particule avec s z = ±
1
2 . Ces micro-états
s’écrivent :
(1, 1, 1,
1
2 , −
1
2 , 2, 2, 2,
1
2 , −
1
2 ) (1, 1, 1,
1
2 , −
1
2 , 2, 2, 2,
1
2 , +
1
2 )
(1, 1, 1,
1
2 , +
1
2 , 2, 2, 2,
1
2 , −
1
2 ) (1, 1, 1,
1
2 , +
1
2 , 2, 2, 2,
1
2 , +
1
2 )
Un micro-état associé à une particule libre dans une boîte cubique correspond à la donnée de
cinq nombres quantiques. Pour deux particules il en faut dix et pour N particules 5N.
Remarque. La manière de procéder en deux étapes, qui consiste à résoudre le problème
dans l’espace pour obtenir les configurations, puis d’occuper celles-ci par les particules,
ne peut se faire que si les interactions entre les particules ne dépendent pas du spin, sinon
les niveaux d’énergie et les configurations seraient modifiés.
2.3 SYSTÈMES À N PARTICULES INDÉPENDANTES
Nous allons à présent appliquer les notions précédentes à quelques exemples simples.
Considérons un système où les niveaux d’énergie à une particule sont régulièrement
espacés et non dégénérés lorsque l’on ne tient pas compte du spin. Prenons pour origine des énergies le niveau le plus bas et comme unité la différence entre deux niveaux
consécutifs. Nous allons, dans plusieurs cas, étudier l’état d’un système constitué de trois
particules indépendantes dont l’énergie totale est égale à trois unités.
2.3.1 Particules discernables
Bien qu’irréaliste, cette situation est intéressante pour illustrer la manière dont on décompte les micro-états. Supposons qu’une particule soit bleue (B), l’autre rouge (R) et
la dernière jaune (J). Oublions pour le moment la nature des particules et cherchons de
combien de manières différentes trois particules peuvent conduire à 3 unités d’énergie.
On trouve trois configurations possibles (figure 4) :
1- Une particule sur le niveau 3 et deux sur le niveau zéro.
2- Une particule sur chacun des trois premiers niveaux.
3- Trois particules sur le premier niveau.
Considérons à présent la nature des particules et évaluons le nombre de micro-états
associés à chaque configuration. Nous noterons un micro-état par (n B , n R , n J ) où n B ,
n R et n J repèrent les niveaux occupés par les particules B, R et J, respectivement. Pour
la première configuration, (figure 4a), nous avons trois micro-états possibles : (3,0,0),
(0,3,0) et (0,0,3). Pour la seconde, nous avons les 6 possibilités indiquées sur la figure 4b
et pour la troisième configuration nous n’avons qu’une seule possibilité (figure 4c). Au
total, pour ce système à trois particules, la dégénérescence du niveau d’énergie est égale
à 10 et nous avons 10 micro-états différents à trois particules.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.