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Physique statistique
tous les micro-états, ils ne jouent aucun rôle dans le décompte de ceux-ci. Les microétats sont alors complètement déterminés par la simple donnée de n x , n y et n z . C’est la
situation que nous avons traitée plus haut dans la section 2.1.3
• Lorsque le spin de la particule est différent de zéro, il faut absolument préciser les valeurs de s et s z . Par exemple, si s = 1 et si ce n’est pas un photon, s z peut
prendre 3 valeurs : −1,0 et +1. Pour n x , n y et n z fixés, on peut définir trois micro-états
(n x , n y , n z , s, s z ) :
n x , n y , n z , 1, −1 ; n x , n y , n z , 1, 0 ; n x , n y , n z , 1, +1
Dans le cas de particules indépendantes, il est souvent commode de considérer séparément les degrés de liberté liés au spin des particules, de ceux qui sont liés à l’espace
ordinaire. La raison en est simple : on peut résoudre dans une première étape le problème
sans s’occuper du spin et obtenir les configurations à une particule. Ces configurations
correspondent en fait aux micro-états associés à une particule de spin nul. Dans une
seconde étape, on peuple certaines de ces configurations avec les particules, en tenant
compte de la statistique à laquelle elles obéissent (Fermi-Dirac ou Bose-Einstein).
Remarque. Le cas du photon, qui est une particule de spin 1, est un peu particulier.
Comme il se déplace à la vitesse de la lumière, la théorie de la relativité n’autorise que
deux projections pour s z au lieu des trois qui sont théoriquement possibles. Elles correspondent aux deux états de polarisation de la lumière observés expérimentalement. Nous
reparlerons de ce problème dans le chapitre 9, à propos du gaz de photons.
Exemples. Considérons une particule libre, de spin s, dans une boîte cubique. Supposons que
son énergie soit égale à 12´ 0 (état n x = n y = n z = 2). Pour une particule sans spin, cet état
d’énergie n’est pas dégénéré et correspond à une seule configuration que nous noterons (2,2,2).
Néanmoins, chaque particule a un spin s dont il faut tenir compte. Voyons à présent, sur trois
exemples simples, la manière dont on procède pour construire un micro-état une fois la première
étape franchie :
1- Si s = 0, nous n’avons qu’une configuration, i.e. un seul micro-état, associée au niveau d’énergie 12´ 0 . Nous la noterons (2, 2, 2, 0, 0).
2- Si s =
1
2 , nous avons deux configurations possibles notées (2, 2, 2,
1
2 , −
1
2 ) et (2, 2, 2,
1
2 , +
1
2 ).
Ainsi, pour une particule libre de spin
1
2 placée dans une boîte cubique, nous avons 2 micro-états
d’énergie 12´ 0 .
3- Si s =
3
2 , s z peut prendre 2s + 1 = 4 valeurs différentes. Au niveau d’énergie 12´ 0 correspondent 4 micro-états : (2, 2, 2,
3
2 , −
3
2 ), (2, 2, 2,
3
2 , −
1
2 ), (2, 2, 2,
3
2 , +
1
2 ) et (2, 2, 2,
3
2 , +
3
2 ). La
dégénérescence de ce niveau d’énergie est égale à 4.
Dans l’exemple précédent, nous nous sommes limités au cas d’une seule particule. Si nous
avons plusieurs particules indépendantes, on procède de la même manière en prenant bien garde
de ne pas confondre états à une particule et états à N particules. Pour illustrer ceci, considérons
2 particules indépendantes et indiscernables dans une boîte cubique. Supposons que l’énergie
totale de ce système soit égale à 15´ 0 , que l’une des particules soit sur le niveau 3´ 0 et l’autre
sur le niveau 12´ 0 . En fait, on pourrait aussi obtenir 15´ 0 par la combinaison 9´ 0 et 6´ 0 . Un
micro-état associé à ce système de deux particules est déterminé par la donnée de 10 nombres
quantiques : 5 se rapportent à la particule numéro un et 5 à la particule numéro deux. Nous le
noterons par : (n x1 , n y1 , n z1 , s 1 , s z1 , n x2 , n y2 , n z2 , s 2 , s z2 ).
Physique statistique
tous les micro-états, ils ne jouent aucun rôle dans le décompte de ceux-ci. Les microétats sont alors complètement déterminés par la simple donnée de n x , n y et n z . C’est la
situation que nous avons traitée plus haut dans la section 2.1.3
• Lorsque le spin de la particule est différent de zéro, il faut absolument préciser les valeurs de s et s z . Par exemple, si s = 1 et si ce n’est pas un photon, s z peut
prendre 3 valeurs : −1,0 et +1. Pour n x , n y et n z fixés, on peut définir trois micro-états
(n x , n y , n z , s, s z ) :
n x , n y , n z , 1, −1 ; n x , n y , n z , 1, 0 ; n x , n y , n z , 1, +1
Dans le cas de particules indépendantes, il est souvent commode de considérer séparément les degrés de liberté liés au spin des particules, de ceux qui sont liés à l’espace
ordinaire. La raison en est simple : on peut résoudre dans une première étape le problème
sans s’occuper du spin et obtenir les configurations à une particule. Ces configurations
correspondent en fait aux micro-états associés à une particule de spin nul. Dans une
seconde étape, on peuple certaines de ces configurations avec les particules, en tenant
compte de la statistique à laquelle elles obéissent (Fermi-Dirac ou Bose-Einstein).
Remarque. Le cas du photon, qui est une particule de spin 1, est un peu particulier.
Comme il se déplace à la vitesse de la lumière, la théorie de la relativité n’autorise que
deux projections pour s z au lieu des trois qui sont théoriquement possibles. Elles correspondent aux deux états de polarisation de la lumière observés expérimentalement. Nous
reparlerons de ce problème dans le chapitre 9, à propos du gaz de photons.
Exemples. Considérons une particule libre, de spin s, dans une boîte cubique. Supposons que
son énergie soit égale à 12´ 0 (état n x = n y = n z = 2). Pour une particule sans spin, cet état
d’énergie n’est pas dégénéré et correspond à une seule configuration que nous noterons (2,2,2).
Néanmoins, chaque particule a un spin s dont il faut tenir compte. Voyons à présent, sur trois
exemples simples, la manière dont on procède pour construire un micro-état une fois la première
étape franchie :
1- Si s = 0, nous n’avons qu’une configuration, i.e. un seul micro-état, associée au niveau d’énergie 12´ 0 . Nous la noterons (2, 2, 2, 0, 0).
2- Si s =
1
2 , nous avons deux configurations possibles notées (2, 2, 2,
1
2 , −
1
2 ) et (2, 2, 2,
1
2 , +
1
2 ).
Ainsi, pour une particule libre de spin
1
2 placée dans une boîte cubique, nous avons 2 micro-états
d’énergie 12´ 0 .
3- Si s =
3
2 , s z peut prendre 2s + 1 = 4 valeurs différentes. Au niveau d’énergie 12´ 0 correspondent 4 micro-états : (2, 2, 2,
3
2 , −
3
2 ), (2, 2, 2,
3
2 , −
1
2 ), (2, 2, 2,
3
2 , +
1
2 ) et (2, 2, 2,
3
2 , +
3
2 ). La
dégénérescence de ce niveau d’énergie est égale à 4.
Dans l’exemple précédent, nous nous sommes limités au cas d’une seule particule. Si nous
avons plusieurs particules indépendantes, on procède de la même manière en prenant bien garde
de ne pas confondre états à une particule et états à N particules. Pour illustrer ceci, considérons
2 particules indépendantes et indiscernables dans une boîte cubique. Supposons que l’énergie
totale de ce système soit égale à 15´ 0 , que l’une des particules soit sur le niveau 3´ 0 et l’autre
sur le niveau 12´ 0 . En fait, on pourrait aussi obtenir 15´ 0 par la combinaison 9´ 0 et 6´ 0 . Un
micro-état associé à ce système de deux particules est déterminé par la donnée de 10 nombres
quantiques : 5 se rapportent à la particule numéro un et 5 à la particule numéro deux. Nous le
noterons par : (n x1 , n y1 , n z1 , s 1 , s z1 , n x2 , n y2 , n z2 , s 2 , s z2 ).