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Physique statistique
Figure 2.1
où Dx et Dp x sont les largeurs des distributions de probabilité en x et p x , respectivement.
Comme la forme de l’énergie potentielle (voir figure 1) oblige le système à rester dans
une portion finie de l’espace, on a Dx = 0 et positif. Il s’ensuit que Dp x ≈
Dx
. Le
système est donc toujours en mouvement.
2.1.3 Une particule libre dans une boîte cubique
Nous utiliserons souvent dans ce cours l’exemple d’une particule libre, de masse m et de
spin nul, placée dans une boîte cubique de coté L (figure 2). L’énergie potentielle de ce
système est nulle à l’intérieur de la boîte et infiniment répulsive (U = +∞) à l’extérieur
de manière à confiner la particule à l’intérieur du cube. Comme dans les deux exemples
précédents, l’énergie de la particule (purement sous forme cinétique dans ce cas) ne peut
pas être quelconque. Seules certaines valeurs sont permises par la mécanique quantique.
Elles sont données par l’expression :
´ nx ny nz =
p 2 2
2mL 2 (n
2
x + n
2
y + n
2
z )
( 6 )
où n x , n y et n z sont des entiers strictement positifs. Ce sont les nombres quantiques associés à chacune des directions de l’espace : x, y et z. Dans l’annexe A6 nous montrons
comment on obtient l’expression (6) en résolvant analytiquement l’équation de Schrödinger associée à la particule. Posons par commodité :
´ 0 =
p 2 2
2mL 2
(7)
l’équation (6) peut alors s’écrire :
´ nx ny nz = ´ 0 (n
2
x + n
2
y + n
2
z )
( 8 )