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Physique statistique
ainsi que des relations analogues pour dy et dz. En utilisant ces expressions dans (1), on
obtient en regroupant les termes :
df =
∂f
∂x
y,z
∂x
∂u
v,w
+
∂f
∂y
x,z
∂y
∂u
v,w
+
∂f
∂z
x,y
∂z
∂u
v,w
du
+
∂f
∂x
y,z
∂x
∂v
u,w
+
∂f
∂y
x,z
∂y
∂v
u,w
+
∂f
∂z
x,y
∂z
∂v
u,w
dv
+
∂f
∂x
y,z
∂x
∂w
u,v
+
∂f
∂y
x,z
∂y
∂w
u,v
+
∂f
∂z
x,y
∂z
∂w
u,v
dw (4)
Comme les variables u, v et w sont indépendantes, on a :
f (x, y, z) = f {x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)} = f (u, v, w)
( 5 )
donc :
df =
∂f
∂u
v,w
du +
∂f
∂v
u,w
dv +
∂f
∂w
u,v
dw
(6)
En identifiant les différents termes de (4) et (6) on obtient :
∂f
∂u
v,w
=
∂f
∂x
y,z
∂x
∂u
v,w
+
∂f
∂y
x,z
∂y
∂u
v,w
+
∂f
∂z
x,y
∂z
∂u
v,w
(7)
et des relations analogues pour
∂f
∂v
u,w
et
∂f
∂w
u,v
. En particulier, le changement de
variable (2) peut être choisi tel que x = u (on conserve la variable x). Dans ce cas (7)
devient :
∂f
∂u
v,w
=
∂f
∂x
y,z
+
∂f
∂y
x,z
∂y
∂u
v,w
+
∂f
∂z
x,y
∂z
∂u
v,w
(8)
Il arrive souvent que les variables x, y et z ne soient pas indépendantes car f (x, y, z) = C,
où C est une constante (lorsque f = E, l’énergie interne du système est constante et
il s’agit d’un système isolé). Dans ce cas, on n’a que deux variables indépendantes et
la troisième, z par exemple, peut s’exprimer en fonction des deux autres : z = z(x, y).
Comme f est constante, on a df = 0. Si z est constante on a aussi dz = 0. Ces deux
conditions permettent d’écrire (1) comme :
0 =
∂f
∂x
y,z
+
∂f
∂y
x,z
∂y
∂x
f ,z
(9)