Corrigé des exercices
331
Exercice 4. L’équation (99) donne T B = 0, 086 K.
Exercice 5. 1- (99) donne T B = 0, 036 K.
2- ´ 0 = 3 × 1, 037 × 10
−40 J, ´ 1 = 2´ 0 . La différence d’énergie est ´ = 3, 1 × 10
−40 J. (95) donne
m = −
kT
N = −2, 3 × 10
−51 J. Le rapport des populations est :
n(´ 1 )
n(´ 0 )
=
exp(−m/kT) − 1
exp((´ − m)/kT) − 1
−
m
´
= 7, 4 × 10
−12 .
La distribution de Boltzmann donnerait 1.
Exercice 6. 1- Dans (115) on pose x =
v
kT . Le maximum de
dEv
dv est alors obtenu en cherchant
le maximum de la fonction y =
x
3
e x −1 . On trouve x = 2, 82.
2- l M = c/n M = 10
−6 m = 10000, ce qui est à la limite entre l’infrarouge et le visible.
3- T = hn M /2, 82k = 3 K. Pouvoir identifier le rayonnement cosmique qui occupe la totalité
de l’espace avec le rayonnement d’un corps noir signifie que dans le passé ce rayonnement a
été en équilibre avec la matière. On pense qu’au cours de l’expansion de l’univers la température du rayonnement cosmique a décru jusqu’à atteindre ces 3 K. L’existence de ces propriétés
apparaissent aujourd’hui comme une preuve expérimentale de la théorie du Big Bang qui est à
l’origine de l’univers.
Exercice 7. 1- 3N =
vD
0
D(v)dv =
V
2p 2 (
1
v 3
l
+
2
v 3
t
)
vD
0
v
2 dw d’où :
v
3
D =
18p
2 N
V
1
v
3
l
+
2
v
3
t
2- En utilisant la définition ci-dessus de v D , on peut écrire D(v)dv =
9N
v 3
D
v
2 dv.
a) dN =
9Nv
2 dv
v 3
D
⎛
⎝ exp(
v
kT
) − 1
⎞
⎠
.
b) dE =
9 Nv
3 dv
v 3
D
⎛
⎝ exp(
v
kT
) − 1
⎞
⎠
.
c) E =
9N
v 3
D
vD
0
v
3 dv
⎛
⎝ exp(
v
kT
) − 1
⎞
⎠
d) C V =
∂E
∂T
V
=
9N
2
kT 2 v 3
D
vD
0
v
4 exp(
v
kT
)dv
⎛
⎝ exp(
v
kT
) − 1
⎞
⎠
2 . On peut définir une température caractéristique du
solide, la température de Debye Q D par Q D =
vD
k . On a alors : C V = 9kN
T
QD
3 QD/T
0
x
4 e
x dx
(e x −1) 2 .
3- a) Lorsque T → 0, C V → 9kN
4p
4
15
T
QD
3
(C V ∼ T
3 ) c’est la loi de Debye.
b) T → ∞, C V → 3kN = 3R pour une mole (résultat de la théorie d’Einstein).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Exercice 4. L’équation (99) donne T B = 0, 086 K.
Exercice 5. 1- (99) donne T B = 0, 036 K.
2- ´ 0 = 3 × 1, 037 × 10
−40 J, ´ 1 = 2´ 0 . La différence d’énergie est ´ = 3, 1 × 10
−40 J. (95) donne
m = −
kT
N = −2, 3 × 10
−51 J. Le rapport des populations est :
n(´ 1 )
n(´ 0 )
=
exp(−m/kT) − 1
exp((´ − m)/kT) − 1
−
m
´
= 7, 4 × 10
−12 .
La distribution de Boltzmann donnerait 1.
Exercice 6. 1- Dans (115) on pose x =
v
kT . Le maximum de
dEv
dv est alors obtenu en cherchant
le maximum de la fonction y =
x
3
e x −1 . On trouve x = 2, 82.
2- l M = c/n M = 10
−6 m = 10000, ce qui est à la limite entre l’infrarouge et le visible.
3- T = hn M /2, 82k = 3 K. Pouvoir identifier le rayonnement cosmique qui occupe la totalité
de l’espace avec le rayonnement d’un corps noir signifie que dans le passé ce rayonnement a
été en équilibre avec la matière. On pense qu’au cours de l’expansion de l’univers la température du rayonnement cosmique a décru jusqu’à atteindre ces 3 K. L’existence de ces propriétés
apparaissent aujourd’hui comme une preuve expérimentale de la théorie du Big Bang qui est à
l’origine de l’univers.
Exercice 7. 1- 3N =
vD
0
D(v)dv =
V
2p 2 (
1
v 3
l
+
2
v 3
t
)
vD
0
v
2 dw d’où :
v
3
D =
18p
2 N
V
1
v
3
l
+
2
v
3
t
2- En utilisant la définition ci-dessus de v D , on peut écrire D(v)dv =
9N
v 3
D
v
2 dv.
a) dN =
9Nv
2 dv
v 3
D
⎛
⎝ exp(
v
kT
) − 1
⎞
⎠
.
b) dE =
9 Nv
3 dv
v 3
D
⎛
⎝ exp(
v
kT
) − 1
⎞
⎠
.
c) E =
9N
v 3
D
vD
0
v
3 dv
⎛
⎝ exp(
v
kT
) − 1
⎞
⎠
d) C V =
∂E
∂T
V
=
9N
2
kT 2 v 3
D
vD
0
v
4 exp(
v
kT
)dv
⎛
⎝ exp(
v
kT
) − 1
⎞
⎠
2 . On peut définir une température caractéristique du
solide, la température de Debye Q D par Q D =
vD
k . On a alors : C V = 9kN
T
QD
3 QD/T
0
x
4 e
x dx
(e x −1) 2 .
3- a) Lorsque T → 0, C V → 9kN
4p
4
15
T
QD
3
(C V ∼ T
3 ) c’est la loi de Debye.
b) T → ∞, C V → 3kN = 3R pour une mole (résultat de la théorie d’Einstein).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.