330
Physique statistique
L’énergie totale est égale à E T = E + E G . Elle dépend du rayon R. Elle a un minimum pour
dE T /dR = 0, soit R =
2
4mGm 2
p
9p
4
2/3 1
N
1/3
e
= 7 × 10
6 m. Cette valeur est à comparer à 5570 km.
Sirius semble donc contractée à son rayon d’équilibre. Le modèle donne un résultat satisfaisant.
5- (33) donne p F =
3p
2 Ne
V
1/3
. p F augmente comme N
1/3
e . À la limite ultrarelativiste
´ F = cp F = c
3p
2 r
1/3 . L’équation (31) permet de calculer
< p >= 3p F /4 et < ´ >= c < p >= 3´ F /4.
L’énergie interne du gaz d’électron vaut : E =
3
4 c
9p
4
1/3 N
4/3
e
R −
12
5 G
m
2
p N
2
e
R . Dans la limite
ultrarelativiste, les contributions à l’énergie sont toutes deux inversement proportionnelles à R.
La première est proportionnelle à N
4/3
e , la seconde à N
2
e . Cette dernière domine lorsque N e est
grand, ce qui entraîne l’effondrement gravitationnel des étoiles massives. Une façon schématique
de déterminer N crit est d’écrire E = 0. On trouve N crit =
3
2
√
p
5
16
c
Gm 2
P
3/2
, où m P est la masse du
proton. Comme il y a deux fois plus de nucléons que d’électrons on en déduit la masse critique
M crit = 3, 4 × 10
30 kg, soit 1,7 fois la masse du soleil.
Exercice 3. On reprend le raisonnement de la section 7.5 en tenant compte du fait que l’on a
des fermions. Le nombre de particules par unité de volume qui ont une impulsion comprise entre
p et p + dp vaut :
d
3 N p =
2
h 3
dp
1 + exp
p
2
2m
− m
/kT
Orientons la normale de dS selon l’axe z. Le nombre de particules qui ont une impulsion comprise entre p z et p z + dp z vaut :
dN pz =
pxpy
d
3 N p =
4pmkT
h 3 dp z Log
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 + exp
⎛
⎜
⎜
⎝ −
⎛
⎜
⎜
⎝
p
2
z
2m
− m
kT
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎫
⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎭
(on a évalué l’intégrale ci-dessus en coordonnées cylindriques). Le nombre de particules par
unité de surface et par unité de temps qui ont une impulsion comprise entre p z et p z + dp z sont
celles qui sont contenues dans un cylindre de hauteur p z /m et de base unité : dF z =
pz
m dN pz . Le
flux total est obtenu en intégrant dF z pour p z variant de 0 à l’infini. On trouve :
F =
4pkT
h 3
∞
0
p z dp z Log
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 + exp
⎛
⎜
⎜
⎝ −
⎛
⎜
⎜
⎝
p
2
z
2m
− m
kT
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎫
⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎭
À très basse température, toutes les particules sont dans les orbites les plus basses et m ´ F . Le
logarithme dans l’équation ci-dessus devient :
−
p
2
z
2mkT +
m
kT
et les particules ont une impulsion
maximum égale à p F et :
F =
4p
h 3
pF
0
−
p
3
z
2m
+ ´ F p z
dp z
En intégrant l’expression ci-dessus et en utilisant l’équation (34), on obtient : F =
3
16 rv F , où v F
est la vitesse de Fermi.
Physique statistique
L’énergie totale est égale à E T = E + E G . Elle dépend du rayon R. Elle a un minimum pour
dE T /dR = 0, soit R =
2
4mGm 2
p
9p
4
2/3 1
N
1/3
e
= 7 × 10
6 m. Cette valeur est à comparer à 5570 km.
Sirius semble donc contractée à son rayon d’équilibre. Le modèle donne un résultat satisfaisant.
5- (33) donne p F =
3p
2 Ne
V
1/3
. p F augmente comme N
1/3
e . À la limite ultrarelativiste
´ F = cp F = c
3p
2 r
1/3 . L’équation (31) permet de calculer
< p >= 3p F /4 et < ´ >= c < p >= 3´ F /4.
L’énergie interne du gaz d’électron vaut : E =
3
4 c
9p
4
1/3 N
4/3
e
R −
12
5 G
m
2
p N
2
e
R . Dans la limite
ultrarelativiste, les contributions à l’énergie sont toutes deux inversement proportionnelles à R.
La première est proportionnelle à N
4/3
e , la seconde à N
2
e . Cette dernière domine lorsque N e est
grand, ce qui entraîne l’effondrement gravitationnel des étoiles massives. Une façon schématique
de déterminer N crit est d’écrire E = 0. On trouve N crit =
3
2
√
p
5
16
c
Gm 2
P
3/2
, où m P est la masse du
proton. Comme il y a deux fois plus de nucléons que d’électrons on en déduit la masse critique
M crit = 3, 4 × 10
30 kg, soit 1,7 fois la masse du soleil.
Exercice 3. On reprend le raisonnement de la section 7.5 en tenant compte du fait que l’on a
des fermions. Le nombre de particules par unité de volume qui ont une impulsion comprise entre
p et p + dp vaut :
d
3 N p =
2
h 3
dp
1 + exp
p
2
2m
− m
/kT
Orientons la normale de dS selon l’axe z. Le nombre de particules qui ont une impulsion comprise entre p z et p z + dp z vaut :
dN pz =
pxpy
d
3 N p =
4pmkT
h 3 dp z Log
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 + exp
⎛
⎜
⎜
⎝ −
⎛
⎜
⎜
⎝
p
2
z
2m
− m
kT
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎫
⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎭
(on a évalué l’intégrale ci-dessus en coordonnées cylindriques). Le nombre de particules par
unité de surface et par unité de temps qui ont une impulsion comprise entre p z et p z + dp z sont
celles qui sont contenues dans un cylindre de hauteur p z /m et de base unité : dF z =
pz
m dN pz . Le
flux total est obtenu en intégrant dF z pour p z variant de 0 à l’infini. On trouve :
F =
4pkT
h 3
∞
0
p z dp z Log
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 + exp
⎛
⎜
⎜
⎝ −
⎛
⎜
⎜
⎝
p
2
z
2m
− m
kT
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎫
⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎭
À très basse température, toutes les particules sont dans les orbites les plus basses et m ´ F . Le
logarithme dans l’équation ci-dessus devient :
−
p
2
z
2mkT +
m
kT
et les particules ont une impulsion
maximum égale à p F et :
F =
4p
h 3
pF
0
−
p
3
z
2m
+ ´ F p z
dp z
En intégrant l’expression ci-dessus et en utilisant l’équation (34), on obtient : F =
3
16 rv F , où v F
est la vitesse de Fermi.