Corrigé des exercices
323
or
r
E r P r =
r
E r P
(0)
r =< E >
On retrouve la relation demandée.
2- L’inégalité Log x x − 1 a été démontrée dans l’exercice 2 du chapitre 3. Si on l’applique à
la formule de la première question, on trouve :
S − S 0 = k
r
P r Log
P
(0)
r
P r
k
r
P r
P
(0)
r
P r
− 1
= k
r
P
(0)
r − k
r
P r
Soit S S 0 puisque les deux distributions sont normalisées. Cette inégalité signifie que pour un
système dont l’énergie moyenne est fixée, l’entropie maximale est obtenue pour la distribution
canonique. Nous obtenons le même résultat qu’avec les multiplicateurs de Lagrange.
Exercice 5. La distribution en impulsion est donnée par l’équation (65) que l’on peut écrire
dans ce cas sous la forme :
P(p)dp =
dpe
−bp
2 /2m
C 1 C 2
H
0
e
−bmgz dz
dxdy
Le domaine d’intégration associé aux variables x et y est le cercle de rayon r = zR/H. La
constante C 2 est définie comme : C 2 =
H
0
dze
−bmgz
dxdy, sur le même contour. Finalement, on
trouve : P(p)dp =
1
C1 e
−bp
2 /2m dp. C’est à dire que la distribution en impulsion est indépendante
de la forme du récipient.
Exercice 6. Dans un repère lié au laboratoire, une molécule de gaz située à la distance
r de l’axe du cylindre est soumise à une force radiale F = mv
2 r qui dérive du potentiel
U = −
Fdr = −mv
2 r
2 /2 + C
te . L’énergie totale de la molécule vaut dans le repère tournant
´ = p
2 /2m − mv
2 r
2 /2.
1- La fonction de partition Z d’une molécule est obtenue en intégrant sur l’espace de phase total,
soit :
Z =
1
h 3
V
rdrdudz exp(mv
2 r
2 /2kT)
exp(−p
2 /2mkT)dp
Z =
2pH
h 3 (2pmkT)
3/2 kT
mv 2
exp(
mv
2
R
2
2kT
) − 1
Soit un cylindre creux, d’axe commun à la centrifugeuse. Son rayon est r, son épaisseur dr et son
volume dV = 2p rH dr. On a P(r) =
N(r)
2prHdr kT = r(r)kT, où r(r) représente le nombre d’atomes
par unité de volume à la distance r de l’axe. (6) donne :
r(r) =
d
3 N
dr
=
N
Zh 3
dp exp
−
p
2
2mkT
+
mv
2 r
2
2kT
,
où l’on effectue l’intégration sur tout l’espace des impulsions. On trouve finalement :
P(r) = r(r)kT =
N mv
2
2pH
exp
mv
2 r
2
2kT
exp
mv
2
R
2
2kT
− 1
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
323
or
r
E r P r =
r
E r P
(0)
r =< E >
On retrouve la relation demandée.
2- L’inégalité Log x x − 1 a été démontrée dans l’exercice 2 du chapitre 3. Si on l’applique à
la formule de la première question, on trouve :
S − S 0 = k
r
P r Log
P
(0)
r
P r
k
r
P r
P
(0)
r
P r
− 1
= k
r
P
(0)
r − k
r
P r
Soit S S 0 puisque les deux distributions sont normalisées. Cette inégalité signifie que pour un
système dont l’énergie moyenne est fixée, l’entropie maximale est obtenue pour la distribution
canonique. Nous obtenons le même résultat qu’avec les multiplicateurs de Lagrange.
Exercice 5. La distribution en impulsion est donnée par l’équation (65) que l’on peut écrire
dans ce cas sous la forme :
P(p)dp =
dpe
−bp
2 /2m
C 1 C 2
H
0
e
−bmgz dz
dxdy
Le domaine d’intégration associé aux variables x et y est le cercle de rayon r = zR/H. La
constante C 2 est définie comme : C 2 =
H
0
dze
−bmgz
dxdy, sur le même contour. Finalement, on
trouve : P(p)dp =
1
C1 e
−bp
2 /2m dp. C’est à dire que la distribution en impulsion est indépendante
de la forme du récipient.
Exercice 6. Dans un repère lié au laboratoire, une molécule de gaz située à la distance
r de l’axe du cylindre est soumise à une force radiale F = mv
2 r qui dérive du potentiel
U = −
Fdr = −mv
2 r
2 /2 + C
te . L’énergie totale de la molécule vaut dans le repère tournant
´ = p
2 /2m − mv
2 r
2 /2.
1- La fonction de partition Z d’une molécule est obtenue en intégrant sur l’espace de phase total,
soit :
Z =
1
h 3
V
rdrdudz exp(mv
2 r
2 /2kT)
exp(−p
2 /2mkT)dp
Z =
2pH
h 3 (2pmkT)
3/2 kT
mv 2
exp(
mv
2
R
2
2kT
) − 1
Soit un cylindre creux, d’axe commun à la centrifugeuse. Son rayon est r, son épaisseur dr et son
volume dV = 2p rH dr. On a P(r) =
N(r)
2prHdr kT = r(r)kT, où r(r) représente le nombre d’atomes
par unité de volume à la distance r de l’axe. (6) donne :
r(r) =
d
3 N
dr
=
N
Zh 3
dp exp
−
p
2
2mkT
+
mv
2 r
2
2kT
,
où l’on effectue l’intégration sur tout l’espace des impulsions. On trouve finalement :
P(r) = r(r)kT =
N mv
2
2pH
exp
mv
2 r
2
2kT
exp
mv
2
R
2
2kT
− 1
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.